Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\right.
\left{
\right.
Passo 1
O problema de contorno é
que é um caso típico de problema de autovalores em uma ODE de segunda ordem. Para encontrar soluções não-triviais, vamos analisar separadamente os casos
,
e
, resolver a equação característica em cada caso e impor as condições de contorno.
Passo 2
Considere
. Escreva
com
. A equação torna-se
cuja solução geral é
Impondo
vem
, logo
. Em
temos
Como
para
, fica
e só há a solução trivial
.
Passo 3
Considere
. A equação é
cuja solução geral é
De
obtemos
, e de
obtemos
, logo
. Novamente só a solução trivial
.
Passo 4
Considere
. Escreva
com
. A equação torna-se
e a solução geral é
Da condição
vem
, então
. Em
a condição
dá
Para ter
é necessário
, ou seja
Descartando
(que gera solução trivial), tomamos
. Assim
e as soluções não-triviais são
com
constante arbitrária.
Resposta
Não existem soluções não-triviais quando
. Para
, as únicas autovalores que admitem solução não-trivial são
com as correspondentes autofunções
Para qualquer outro valor de
, a única solução é
.