Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\ y(0)=0, y(L)=0\end{array}
\right.

Passo 1

O problema de contorno é
y'' + \lambda y = 0,\quad y(0)=0,\;y(L)=0,
que é um caso típico de problema de autovalores em uma ODE de segunda ordem. Para encontrar soluções não-triviais, vamos analisar separadamente os casos \lambda<0, \lambda=0 e \lambda>0, resolver a equação característica em cada caso e impor as condições de contorno.

Passo 2

Considere \lambda<0. Escreva \lambda = -\mu^2 com \mu>0. A equação torna-se
y'' - \mu^2 y = 0
cuja solução geral é
y(x) = A e^{\mu x} + B e^{-\mu x}.
Impondo y(0)=0 vem A+B=0, logo y(x)=A(e^{\mu x}-e^{-\mu x})=2A\operatorname{sinh}(\mu x). Em x=L temos
y(L)=2A\operatorname{sinh}(\mu L)=0.
Como \operatorname{sinh}(\mu L)\neq0 para \mu>0, fica A=0 e só há a solução trivial y\equiv0.

Passo 3

Considere \lambda=0. A equação é
y''=0,
cuja solução geral é
y(x)=Ax+B.
De y(0)=0 obtemos B=0, e de y(L)=0 obtemos A\,L=0, logo A=0. Novamente só a solução trivial y\equiv0.

Passo 4

Considere \lambda>0. Escreva \lambda=k^2 com k>0. A equação torna-se
y'' + k^2 y = 0
e a solução geral é
y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Da condição y(0)=0 vem A=0, então y(x)=B\sin(kx). Em x=L a condição y(L)=0
B\sin(kL)=0.
Para ter B\neq0 é necessário \sin(kL)=0, ou seja
kL = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Descartando n=0 (que gera solução trivial), tomamos n=1,2,3,\dots. Assim
k_n = \frac{n\pi}{L},\quad \lambda_n = k_n^2 = \Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^2,
e as soluções não-triviais são
y_n(x) = C\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr),\quad n=1,2,\dots
com C constante arbitrária.

Resposta

Não existem soluções não-triviais quando \lambda\le0. Para \lambda>0, as únicas autovalores que admitem solução não-trivial são
\lambda_n = \Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^2,\quad n=1,2,\dots,
com as correspondentes autofunções
y_n(x) = C\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr).
Para qualquer outro valor de \lambda, a única solução é y\equiv0.

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