Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\right.
\left{
\right.
Passo 1
O enunciado é o problema de valor de contorno
que é um problema de Sturm–Liouville com condições de Dirichlet em
. Vamos resolver em três casos de
: negativa, zero ou positiva, e ver quando há solução não–trivial.
Passo 2
Caso
. Escreva
com
. A equação fica
cuja solução geral é
Impondo
temos
, logo
.
Impondo dá
Impondo
Como
, segue
e, portanto,
. Não há solução não–trivial.
Passo 3
Caso
. A equação é
com solução geral
De
vem
, e de
vem
, logo
. Novamente
é a única solução.
Passo 4
Caso
. Ponha
com
. A ODE torna-se
cuja solução geral é
Da condição
segue
, de modo que
Impondo
obtemos
Para ter solução não–trivial precisamos
e, portanto,
Como
, temos
com
. Assim só existem soluções não–triviais quando
e as correspondentes autofunções são, à constante de normalização
arbitrária,
Resposta
O problema admite apenas a solução trivial
para
e para
que não seja um quadrado inteiro. Há soluções não–triviais exatamente para
com autofunções