Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\ y(0)=0, y(\pi)=0\end{array}
\right.

Passo 1

O enunciado é o problema de valor de contorno
y'' + \lambda\,y = 0, \quad y(0)=0,\;y(\pi)=0,
que é um problema de Sturm–Liouville com condições de Dirichlet em [0,\pi]. Vamos resolver em três casos de \lambda: negativa, zero ou positiva, e ver quando há solução não–trivial.

Passo 2

Caso \lambda<0. Escreva \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A equação fica
y'' - \mu^2 y = 0,
cuja solução geral é
y(x)=C\,e^{\mu x}+D\,e^{-\mu x}.
Impondo y(0)=0 temos C+D=0, logo y(x)=C(e^{\mu x}-e^{-\mu x})=2C\operatorname{sinh}(\mu x).
Impondo y(\pi)=0
2C\operatorname{sinh}(\mu\pi)=0.
Como \operatorname{sinh}(\mu\pi)\neq0, segue C=0 e, portanto, y\equiv0. Não há solução não–trivial.

Passo 3

Caso \lambda=0. A equação é
y''=0,
com solução geral
y(x)=A\,x+B.
De y(0)=0 vem B=0, e de y(\pi)=0 vem A\pi=0, logo A=0. Novamente y\equiv0 é a única solução.

Passo 4

Caso \lambda>0. Ponha \lambda=k^2 com k>0. A ODE torna-se
y''+k^2y=0,
cuja solução geral é
y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Da condição y(0)=0 segue A=0, de modo que
y(x)=B\sin(kx).
Impondo y(\pi)=0 obtemos
B\sin(k\pi)=0.
Para ter solução não–trivial precisamos B\neq0 e, portanto,
\sin(k\pi)=0\;\Longrightarrow\;k\pi = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Como k>0, temos k=n com n=1,2,3,\dots. Assim só existem soluções não–triviais quando
\lambda = k^2 = n^2,\quad n=1,2,3,\dots,
e as correspondentes autofunções são, à constante de normalização B arbitrária,
y_n(x)=B\sin(nx).

Resposta

O problema admite apenas a solução trivial y\equiv0 para \lambda\le0 e para \lambda>0 que não seja um quadrado inteiro. Há soluções não–triviais exatamente para
\lambda_n = n^2,\quad n=1,2,3,\dots,
com autofunções
y_n(x)=B\sin(nx),\quad B\text{ constante não nula.}ã

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