Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\ y^{\prime}(0)=0, y(L)=0\end{array}
\right.

Passo 1

Temos o problema de valor de contorno
y'' + \lambda y = 0,
com condições
y'(0)=0,\quad y(L)=0.
Este é um problema de autovalores para uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Vamos analisar separadamente os casos \lambda<0, \lambda=0 e \lambda>0.

Passo 2

Caso \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A solução geral de
y'' - \mu^2 y = 0
é
y(x)=A e^{\mu x} + B e^{-\mu x}.
Da condição y'(0)=0 temos
y'(x)=A\mu e^{\mu x}-B\mu e^{-\mu x} \quad\Longrightarrow\quad y'(0)=A\mu - B\mu=0 \;\Rightarrow\; A=B.
Logo
y(x)=A\bigl(e^{\mu x}+e^{-\mu x}\bigr)=2A\operatorname{cosh}(\mu x).
Impor y(L)=0
2A\operatorname{cosh}(\mu L)=0\quad\Rightarrow\quad A=0,
só resta a solução trivial.

Passo 3

Caso \lambda=0. A equação é
y''=0
com solução
y(x)=Ax+B.
De y'(0)=A=0 segue y(x)=B. Depois y(L)=B=0 força B=0. Novamente só há solução trivial.

Passo 4

Caso \lambda=k^2 com k>0. A equação
y'' + k^2 y = 0
tem solução geral
y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Da condição y'(0)=0 vem
y'(x)=-A k\sin(kx)+B k\cos(kx) \quad\Longrightarrow\quad y'(0)=B k=0 \;\Rightarrow\; B=0,
ficando
y(x)=A\cos(kx).
Então y(L)=0 implica
A\cos(kL)=0.
Para A\neq0 é necessário
\cos(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=\frac{(2n+1)\pi}{2},\quad n=0,1,2,\dots
Portanto
k_n=\frac{(2n+1)\pi}{2L}, \quad \lambda_n=k_n^2=\Bigl(\frac{(2n+1)\pi}{2L}\Bigr)^2.

Resposta

Os únicos valores de \lambda que admitem solução não trivial são
\lambda_n=\Bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2L}\Bigr)^2,\quad n=0,1,2,\dots
e as respectivas autofunções (até constante) são
y_n(x)=\cos\!\bigl(k_n x\bigr) =\cos\!\Bigl(\tfrac{(2n+1)\pi}{2L}x\Bigr).
Para \lambda\le0 só existe a solução trivial y\equiv0.

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