Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando sua resposta. Ou seja, prove se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se for falsa.
Se x \geq 0 e x \leq y então x^{2} \leq y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Tem-se x e y (assumir números reais) com \,x \geq 0\; e \;x \leq y.
    A pergunta é: a afirmação "se \,x \geq 0 e \,x \leq y então \,x^{2} \leq y^{2}" é verdadeira (V) ou falsa (F)? Deve-se justificar: provar se for verdadeira ou apresentar um contra-exemplo se for falsa.

Passo 2

Observação imediata sobre os sinais: de \,x \leq y e \,x \geq 0 segue que \,y \geq x \geq 0. Portanto \,y também é não-negativo; isto é, \,y \geq 0.

Passo 3

Vamos comparar \,x^{2} e \,y^{2} calculando a diferença
y^{2}-x^{2}.
Usamos a fatoração da diferença de quadrados:
y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x).

Passo 4

Analisando os fatores: como \,x \leq y temos \,y-x \geq 0. E como \,x \geq 0 e \,y \geq 0 (Passo 2), temos \,y+x \geq 0. O produto de dois números não-negativos é não-negativo, logo
(y-x)(y+x)\geq 0.
Portanto \,y^{2}-x^{2}\geq 0, isto é,
x^{2}\leq y^{2}.
Isso prova a afirmação.

Passo 5

Observações finais e exemplos: a desigualdade é estrita ( x^{2}<y^{2}) sempre que y>x e pelo menos um dos fatores y-x e y+x for positivo; no nosso contexto isso ocorre sempre que y>x. Exemplos: \,x=2,\\ y=3\Rightarrow 4\leq 9. Caso limite: \,x=y dá igualdade \,x^{2}=y^{2}.

Resposta

V

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