Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando sua resposta. Ou seja, prove se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se for falsa.
Se
e
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Tem-se
e (assumir números reais) com e .
A pergunta é: a afirmação "see então " é verdadeira (V) ou falsa (F)? Deve-se justificar: provar se for verdadeira ou apresentar um contra-exemplo se for falsa.
Passo 2
Observação imediata sobre os sinais: de
e
segue que
. Portanto
também é não-negativo; isto é,
.
Passo 3
Vamos comparar
e
calculando a diferença
Usamos a fatoração da diferença de quadrados:
Passo 4
Analisando os fatores: como
temos
. E como
e
(Passo 2), temos
. O produto de dois números não-negativos é não-negativo, logo
Portanto
, isto é,
Isso prova a afirmação.
Passo 5
Observações finais e exemplos: a desigualdade é estrita (
) sempre que
e pelo menos um dos fatores
e
for positivo; no nosso contexto isso ocorre sempre que
. Exemplos:
. Caso limite:
dá igualdade
.
Resposta
V