Ache o máximo e o mínimo de f em R. (Recorra aos Exercícios 3-8 para extremos locais.)
f(x, y)=x^{2}+x y;
a região R delimitada pelos gráficos de y=x^{2} e y=9.

Passo 1

O enunciado pede: achar o máximo e o mínimo absolutos de f na região R.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+x y.
  • A região R é delimitada pelos gráficos de y=x^{2} e y=9.
  • A interseção entre y=x^{2} e y=9 ocorre quando x^{2}=9, isto é, x=\pm 3.
  • Logo, R=\{(x,y)\mid -3\le x\le 3,\; x^{2}\le y\le 9\}.
    O que se quer: localizar os pontos em R onde f atinge seu valor mínimo absoluto e seu valor máximo absoluto, e fornecer esses valores.

Passo 2

Conceito e procedimento para pontos interiores: para procurar extremos absolutos numa região fechada e limitada, o procedimento padrão é:
  1. procurar pontos críticos no interior de R (onde o gradiente de f é o vetor nulo);
  2. analisar as restrições nas fronteiras (reduzir a problemas de uma variável e estudar extremos relativos e extremos nos endpoints);
  3. comparar todos os valores obtidos para decidir mínimos e máximos absolutos.
Explicando o gradiente e derivadas parciais (rápida aula): a derivada parcial de f em relação a x, denotada \partial f/\partial x, mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo. A derivada parcial em relação a y, \partial f/\partial y, mede a taxa quando y muda e x fica fixo. O gradiente é o vetor
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Pontos críticos no interior satisfazem \nabla f(x,y)= (0,0).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de [f) e resolver \nabla f=0.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x.
Resolver o sistema
\begin{cases} 2x+y=0,\\[4pt] x=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=0\]. Substituindo na primeira, \(2\cdot 0 + y=0 y=0. Logo o único ponto crítico do campo de f é (0,0).
Verificar se (0,0) está no interior de R: para x=0 tem-se y=x^{2}=0, portanto (0,0) pertence à fronteira inferior y=x^{2}, não é um ponto interior de R. Conclusão: não há pontos críticos no interior de R. Assim todos os extremos absolutos ocorrem na fronteira de R.]

Passo 4

Analisar a fronteira superior y=9, com -3\le x\le 3.
Reduzimos f a uma função de uma variável: para y=9,
g(x)=f(x,9)=x^{2}+9x, \qquad -3\le x\le 3.
Derivada de g:
g'(x)=2x+9.
Resolver g'(x)=0 2x+9=0\Rightarrow x=-\dfrac{9}{2}=-4{,}5, que está fora do intervalo [-3,3]. Portanto não há extremos interiores ao intervalo; os candidatos nesta borda são apenas os endpoints x=-3 e x=3.
Calcular valores nos endpoints:
f(-3,9)=(-3)^{2}+(-3)\cdot 9 = 9 -27 = -18,
f(3,9)=3^{2}+3\cdot 9 = 9 +27 = 36.

Passo 5

Analisar a fronteira inferior y=x^{2}, com -3\le x\le 3.
Parametrizamos pela variável x e consideramos
h(x)=f(x,x^{2})=x^{2}+x\cdot x^{2}=x^{2}+x^{3}, \qquad -3\le x\le 3.
Derivada de h:
h'(x)=2x+3x^{2}=x(2+3x).
Resolver h'(x)=0 x=0 ou x=-\dfrac{2}{3}. Ambos pertencem a [-3,3], portanto são candidatos, além dos endpoints x=-3 e x=3 (que são os pontos de interseção já analisados na borda superior).
Calcular os valores:
  • Para x=0: h(0)=0^{2}+0^{3}=0. Portanto o ponto é (0,0) com f(0,0)=0.
  • Para x=-\dfrac{2}{3}:
h\Bigl(-\dfrac{2}{3}\Bigr)=\Bigl(-\dfrac{2}{3}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\dfrac{2}{3}\Bigr)^{3} =\dfrac{4}{9}-\dfrac{8}{27} =\dfrac{12-8}{27}=\dfrac{4}{27}\approx 0{,}148.
Logo o ponto é \Bigl(-\dfrac{2}{3},\;\bigl(-\dfrac{2}{3}\bigr)^{2}\Bigr)=\Bigl(-\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{9}\Bigr) com f=\dfrac{4}{27}.
  • Já avaliamos os endpoints x=\pm 3 em

Passo 6

Breve classificação local (opcional mas didático): a segunda derivada de h é
h''(x)=2+6x.
Em x=0, h''(0)=2>0 indicando mínimo local de h na borda inferior (valor 0). Em x=-\tfrac{2}{3}, h''\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=2+6\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=2-4=-2<0 indicando máximo local de h na borda inferior (valor \tfrac{4}{27}). Essas observações locais ajudam, mas para o extremo absoluto precisamos comparar todos os valores obtidos.

Passo 7

Comparar todos os valores candidatos obtidos nas bordas:
  • f(-3,9)=-18.
  • f(3,9)=36.
  • f(0,0)=0.
  • f\!\Bigl(-\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{9}\Bigr)=\dfrac{4}{27}\approx 0{,}148.
Entre estes, o menor valor é -18 e o maior é 36. Portanto:
  • mínimo absoluto: -18 em (-3,9);
  • máximo absoluto: 36 em (3,9).

Resposta

Mínimo absoluto: -18 em (-3,9)
Máximo absoluto: 36 em (3,9)

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