Ache o máximo e o mínimo de
em
. (Recorra aos Exercícios 3-8 para extremos locais.)
;
a região
delimitada pelos gráficos de
e
.
a região
Passo 1
O enunciado pede: achar o máximo e o mínimo absolutos de
na região
.
Informações dadas:
- A função é
. - A região
é delimitada pelos gráficos de e . - A interseção entre
e ocorre quando , isto é, . - Logo,
.
O que se quer: localizar os pontos emonde atinge seu valor mínimo absoluto e seu valor máximo absoluto, e fornecer esses valores.
Passo 2
Conceito e procedimento para pontos interiores: para procurar extremos absolutos numa região fechada e limitada, o procedimento padrão é:
- procurar pontos críticos no interior de
(onde o gradiente de é o vetor nulo); - analisar as restrições nas fronteiras (reduzir a problemas de uma variável e estudar extremos relativos e extremos nos endpoints);
- comparar todos os valores obtidos para decidir mínimos e máximos absolutos.
Explicando o gradiente e derivadas parciais (rápida aula): a derivada parcial de
em relação a
, denotada
, mede a taxa de variação de
quando
muda e
fica fixo. A derivada parcial em relação a
,
, mede a taxa quando
muda e
fica fixo. O gradiente é o vetor
Pontos críticos no interior satisfazem
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de [f) e resolver
.
As derivadas parciais são:
Resolver o sistema
Da segunda equação vem
dá
. Logo o único ponto crítico do campo de
é
.
Verificar se
está no interior de
: para
tem-se
, portanto
pertence à fronteira inferior
, não é um ponto interior de
. Conclusão: não há pontos críticos no interior de
. Assim todos os extremos absolutos ocorrem na fronteira de
.]
Passo 4
Analisar a fronteira superior
, com
.
Reduzimos
a uma função de uma variável: para
,
Derivada de
:
Resolver
dá
, que está fora do intervalo
. Portanto não há extremos interiores ao intervalo; os candidatos nesta borda são apenas os endpoints
e
.
Calcular valores nos endpoints:
Passo 5
Analisar a fronteira inferior
, com
.
Parametrizamos pela variável
e consideramos
Derivada de
:
Resolver
dá
ou
. Ambos pertencem a
, portanto são candidatos, além dos endpoints
e
(que são os pontos de interseção já analisados na borda superior).
Calcular os valores:
- Para
: . Portanto o ponto é com . - Para
:
Logo o ponto é
com
.
- Já avaliamos os endpoints
em
Passo 6
Breve classificação local (opcional mas didático): a segunda derivada de
é
Em
,
indicando mínimo local de
na borda inferior (valor
). Em
,
indicando máximo local de
na borda inferior (valor
). Essas observações locais ajudam, mas para o extremo absoluto precisamos comparar todos os valores obtidos.
Passo 7
Comparar todos os valores candidatos obtidos nas bordas:
-
. -
. -
. -
.
Entre estes, o menor valor é
e o maior é
. Portanto:
- mínimo absoluto:
em ; - máximo absoluto:
em .
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
Máximo absoluto: