Construa uma tabela-verdade para cada uma destas proposições compostas.
p \oplus p

Passo 1

O enunciado pede: construir a tabela-verdade para a proposição composta p \oplus p.
Informações relevantes dadas:
  • A única proposição atômica é p.
  • O conectivo é \oplus, que é o “ou exclusivo” (XOR).
  • Não há outras condições ou variáveis no enunciado.

Passo 2

O que é a \oplus b? Vou explicar com calma.
Definição intuitiva: a \oplus b (ou exclusivo) é verdadeiro exatamente quando uma das proposições é verdadeira e a outra é falsa — isto é, quando a e b têm valores diferentes.
Uma forma útil em lógica é a equivalência
a \oplus b \equiv (a \land \neg b)\\ \lor\\ (\neg a \land b).
Aqui:
  • \land é “e” (conjunção),
  • \lor é “ou” (disjunção),
  • \neg é “não” (negação).
Também vale dizer, de forma curta: a \oplus b é verdadeiro se e só se a \neq b.

Passo 3

Agora aplico isso a p \oplus p. Substituindo a=p e b=p na fórmula acima:
p \oplus p \equiv (p \land \neg p)\\ \lor\\ (\neg p \land p).
Repare que os dois termos são idênticos (apenas trocando a ordem dos fatores):
p \land \neg p \quad\text{e}\quad \neg p \land p.
Mas p \land \neg p é uma contradição: uma proposição e sua negação não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, portanto p \land \neg p é sempre falsa. O mesmo vale para \neg p \land p. Então cada disjuncto é sempre falso, e a disjunção de falsos também é falsa. Logo intuitivamente p \oplus p é sempre falsa.

Passo 4

Vamos montar a tabela-verdade completa passo a passo (vou mostrar também as colunas auxiliares para ver direitinho de onde vem o resultado).
\begin{array}{c|c|c|c|c} p & \neg p & p \land \neg p & \neg p \land p & p \oplus p \\\ \hline \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\\ \text{F} & \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \end{array}
Explicando as linhas:
  • Se p é \text{V}, então \neg p é \text{F}. Assim p \land \neg p é \text{F} e \neg p \land p é \text{F}. Portanto p \oplus p é \text{F}.
  • Se p é \text{F}, então \neg p é \text{V}. Novamente p \land \neg p e \neg p \land p são \text{F}. Portanto p \oplus p é \text{F}.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova: sempre que vês q \oplus q para a mesma proposição q, dá pra responder na hora: é sempre falso. Porque XOR pede “exatamente uma verdadeira” — se as duas entradas são a mesma proposição, elas não podem ser diferentes. Anota isso como “identidade” rápida: q \oplus q \equiv \bot (contradição).
Força aí — esse tipo de simplificação salva tempo na prova!

Resposta

\begin{array}{c|c} p & p \oplus p \\\ \hline \text{V} & \text{F} \\\ \text{F} & \text{F} \end{array}

Exercícios relacionados