Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando sua resposta. Ou seja, prove se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se for falsa.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a condição
e pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Lista das informações relevantes:
-
e são números reais e satisfazem . - A função
é a raiz quadrada principal, isto é, para , é o único número não-negativo cuja quadrado é .
O que se pede: provar a afirmação (se for verdadeira) ou dar contraexemplo (se for falsa).
Passo 2
Primeiro, lembrar e explicar com calma uma propriedade básica da raiz quadrada: para todo
a quantidade
é definida e
. Assim, se
e
satisfazem
, então
e
existem e são números não-negativos.
Passo 3
Tratar o caso trivial da igualdade. Se
então, pela definição da raiz quadrada,
portanto a desigualdade
é verdadeira no caso
.
Passo 4
Agora tratar o caso
. Quero mostrar que então
. Considere a diferença
. Usamos o truque do conjugado para reescrever essa diferença de forma que apareça
no numerador:
Explicando a manipulação: multipliquei numerador e denominador por
(o conjugado) — isso é permitido porque, no caso
, temos
(já que
), então
e não se está dividindo por zero.
Passo 5
Analisar o sinal da fração obtida. No caso
temos
. Também, como explicado,
. Portanto
o que implica
ou seja
. Isso prova a desigualdade estrita quando
.
Passo 6
Juntando os dois casos:
- Se
então . - Se
então .
Em ambos os casos temos. Logo a afirmação pedida é verdadeira para todos .
Resposta
V