Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando sua resposta. Ou seja, prove se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se for falsa.
Se 0 \leq x \leq y então \sqrt{x} \leq \sqrt{y}.

Passo 1

O enunciado dá a condição 0 \leq x \leq y e pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
\text{Se }0 \leq x \leq y\text{ então }\sqrt{x}\leq\sqrt{y}.ã
Lista das informações relevantes:
  • x e y são números reais e satisfazem 0\leq x\leq y.
  • A função \sqrt{\cdot} é a raiz quadrada principal, isto é, para t\ge0, \sqrt{t} é o único número não-negativo cuja quadrado é t.
    O que se pede: provar a afirmação (se for verdadeira) ou dar contraexemplo (se for falsa).

Passo 2

Primeiro, lembrar e explicar com calma uma propriedade básica da raiz quadrada: para todo t\ge0 a quantidade \sqrt{t} é definida e \sqrt{t}\ge0. Assim, se x e y satisfazem 0\le x\le y, então \sqrt{x} e \sqrt{y} existem e são números não-negativos.

Passo 3

Tratar o caso trivial da igualdade. Se x=y então, pela definição da raiz quadrada,
\sqrt{x}=\sqrt{y},
portanto a desigualdade \sqrt{x}\le\sqrt{y} é verdadeira no caso x=y.

Passo 4

Agora tratar o caso x<y. Quero mostrar que então \sqrt{x}<\sqrt{y}. Considere a diferença \sqrt{y}-\sqrt{x}. Usamos o truque do conjugado para reescrever essa diferença de forma que apareça y-x no numerador:
\sqrt{y}-\sqrt{x} = \frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})(\sqrt{y}+\sqrt{x})}{\sqrt{y}+\sqrt{x}} = \frac{y-x}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}.
Explicando a manipulação: multipliquei numerador e denominador por \sqrt{y}+\sqrt{x} (o conjugado) — isso é permitido porque, no caso x<y, temos \sqrt{y}>0 (já que y> x\ge0), então \sqrt{y}+\sqrt{x}>0 e não se está dividindo por zero.

Passo 5

Analisar o sinal da fração obtida. No caso x<y temos y-x>0. Também, como explicado, \sqrt{y}+\sqrt{x}>0. Portanto
\frac{y-x}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}>0,
o que implica
\sqrt{y}-\sqrt{x}>0,
ou seja \sqrt{x}<\sqrt{y}. Isso prova a desigualdade estrita quando x<y.

Passo 6

Juntando os dois casos:
  • Se x=y então \sqrt{x}=\sqrt{y}.
  • Se x<y então \sqrt{x}<\sqrt{y}.
    Em ambos os casos temos \sqrt{x}\le\sqrt{y}. Logo a afirmação pedida é verdadeira para todos 0\le x\le y.

Resposta

V

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