Construa uma tabela-verdade para cada uma destas proposições compostas.
p \oplus \neg p

Passo 1

O enunciado pede que se construa a tabela-verdade da proposição composta p \oplus \neg p.
Informações dadas:
  • A variável atômica é p.
  • A expressão composta é p \oplus \neg p.
    O que se pede:
  • Montar a tabela-verdade completa (avaliando todos os valores possíveis de p) para a expressão p \oplus \neg p.

Passo 2

Entender os conectivos envolvidos. Primeiro, negação:
  • A negação \neg p inverte o valor de verdade de p.
    Exemplo rápido:
\begin{array}{c|c} p & \neg p \\\ \hline \text{\;V\;} & \text{\;F\;} \\\ \text{\;F\;} & \text{\;V\;} \end{array}

Passo 3

Agora, o operador \oplus (ou exclusivo, XOR). Definição intuitiva:
  • A \oplus B é verdadeira quando exatamente uma entre A e B é verdadeira, e falsa quando ambas são verdadeiras ou ambas falsas.
    Uma forma equivalente útil é:
A \oplus B \equiv (A \vee B)\wedge \neg(A \wedge B).
Aqui \vee é OU (inclusive) e \wedge é E.

Passo 4

Planejar a tabela-verdade. Como há apenas uma variável p, existem duas linhas possíveis: p=\text{V} e p=\text{F}. Vou calcular as colunas:
  • p
  • \neg p
  • p \oplus \neg p

Passo 5

Avaliar a linha p=\text{V}.
  • Pela regra da negação: \neg p = \text{F}.
  • Aplicando o XOR: p é verdadeiro e \neg p é falso, logo exatamente uma é verdadeira, portanto p \oplus \neg p = \text{V}.
    Podemos verificar com a forma equivalente:
p\vee \neg p = \text{V}\vee\text{F}=\text{V}, \qquad p\wedge \neg p = \text{V}\wedge\text{F}=\text{F},
(p\vee \neg p)\wedge \neg(p\wedge \neg p)=\text{V}\wedge \neg\text{F}=\text{V}\wedge\text{V}=\text{V}.

Passo 6

Avaliar a linha p=\text{F}.
  • Pela negação: \neg p = \text{V}.
  • Aplicando o XOR: p é falso e \neg p é verdadeiro, então exatamente uma é verdadeira, logo p \oplus \neg p = \text{V}.
    Verificação pela forma equivalente:
p\vee \neg p = \text{F}\vee\text{V}=\text{V}, \qquad p\wedge \neg p = \text{F}\wedge\text{V}=\text{F},
(p\vee \neg p)\wedge \neg(p\wedge \neg p)=\text{V}\wedge \neg\text{F}=\text{V}.

Passo 7

Montar a tabela-verdade completa com os resultados achados nas linhas anteriores.

Resposta

\begin{array}{c|c|c} p & \neg p & p \oplus \neg p \\\ \hline \text{V} & \text{F} & \text{V} \\\ \text{F} & \text{V} & \text{V} \end{array}
A expressão p \oplus \neg p é uma tautologia (sempre verdadeira).

Exercícios relacionados