Em cada um dos itens abaixo, responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo:
Para quaisquer x, y \in \mathbb{R}, temos que |x+y|=|x|+|y|.

Passo 1

O enunciado pergunta se para quaisquer reais x,y vale sempre
\lvert x + y\rvert = \lvert x\rvert + \lvert y\rvert.
O conteúdo envolvido é a desigualdade triangular e as condições de igualdade nela.

Passo 2

Lembrando a desigualdade triangular, para quaisquer x,y\in\mathbb{R} temos
\lvert x + y\rvert \le \lvert x\rvert + \lvert y\rvert.
Isso se demonstra analisando casos de sinal ou usando a definição \lvert t\rvert = \sqrt{t^2}.

Passo 3

A igualdade
\lvert x + y\rvert = \lvert x\rvert + \lvert y\rvert
ocorre se, e só se, x e y têm o mesmo sinal (ou um deles é zero), ou seja, se xy\ge0.

Passo 4

Como a igualdade não vale quando x e y têm sinais opostos, basta um contra-exemplo. Seja x=1 e y=-1. Então
\lvert 1 + (-1)\rvert = \lvert 0\rvert = 0
enquanto
\lvert 1\rvert + \lvert -1\rvert = 1 + 1 = 2.
Logo não se verifica a igualdade.

Resposta

Falsa.

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