Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função
dada é uma solução da equação dada e encontre, a partir de
, outra solução
da mesma equação, de forma que o conjunto
seja linearmente independente. Mostre que o conjunto obtido é linearmente independente:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e já informa uma solução
. O objetivo é verificar que
de fato satisfaz a equação, aplicar o método de redução de ordem para obter uma segunda solução
de modo que
seja linearmente independente, e então mostrar explicitamente essa independência.
Passo 2
Verificação de que
é solução.
Como , temos
Como
Substituindo na equação original:
o que é verdade. Logo,
é solução.
Passo 3
Colocamos a equação em forma normal dividindo por
(assumindo
):
Aqui o coeficiente de
é
.
Passo 4
Pela fórmula de redução de ordem, uma segunda solução pode ser escrita como
Substituindo
e
:
Portanto
Como qualquer múltiplo escalar também é solução, escolhemos
Passo 5
Para mostrar que
é linearmente independente, calculamos o Wronskiano:
Como
para
, as soluções são linearmente independentes.]
Resposta
A segunda solução pode ser escolhida como
e o Wronskiano
prova a independência linear do conjunto
.