Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função y_{1} dada é uma solução da equação dada e encontre, a partir de y_{1}, outra solução y_{2} da mesma equação, de forma que o conjunto \{y_{1}(x), y_{2}(x)\} seja linearmente independente. Mostre que o conjunto obtido é linearmente independente:
x y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0, \quad y_{1}=1;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y''+3\,y'=0
e já informa uma solução y_{1}(x)=1. O objetivo é verificar que y_{1} de fato satisfaz a equação, aplicar o método de redução de ordem para obter uma segunda solução y_{2}(x) de modo que \{y_{1},y_{2}\} seja linearmente independente, e então mostrar explicitamente essa independência.

Passo 2

Verificação de que y_{1}(x)=1 é solução.
Como y_{1}(x)=1, temos
y_{1}'(x)=0 \quad\text{e}\quad y_{1}''(x)=0.
Substituindo na equação original:
x\cdot0 + 3\cdot0 = 0,
o que é verdade. Logo, y_{1}(x)=1 é solução.

Passo 3

Colocamos a equação em forma normal dividindo por x (assumindo x\neq0):
y'' + \frac{3}{x}\,y' = 0.
Aqui o coeficiente de y' é P(x)=\tfrac{3}{x}.

Passo 4

Pela fórmula de redução de ordem, uma segunda solução pode ser escrita como
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{[y_{1}(x)]^{2}}\,dx.
Substituindo y_{1}(x)=1 e P(x)=\tfrac{3}{x}:
e^{-\int P(x)\,dx} = e^{-\int \frac{3}{x}\,dx} = e^{-3\ln|x|} = x^{-3}.
Portanto
y_{2}(x) = 1\cdot\int x^{-3}\,dx = \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2}\,x^{-2}.
Como qualquer múltiplo escalar também é solução, escolhemos
y_{2}(x)=x^{-2}.

Passo 5

Para mostrar que \{y_{1},y_{2}\} é linearmente independente, calculamos o Wronskiano:
W(y_{1},y_{2})(x) = \det\begin{pmatrix} y_{1} & y_{2} \\[6pt] y_{1}' & y_{2}' \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & x^{-2} \\[4pt] 0 & -2\,x^{-3} \end{pmatrix} = 1\cdot(-2\,x^{-3}) - 0\cdot x^{-2} = -2\,x^{-3}.
Como W(y_{1},y_{2})(x)\neq0 para x\neq0, as soluções são linearmente independentes.]

Resposta

A segunda solução pode ser escolhida como
y_{2}(x)=x^{-2},
e o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)=-2\,x^{-3}\neq0
prova a independência linear do conjunto \{1,\,x^{-2}\}.

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