Exercício 0.3 Mostre que
4,2=4,1999 \cdots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expansão decimal finita \,4,2 coincide com a expansão periódica \,4,1999\ldots. O conteúdo envolvido é a representação de números reais por decimais infinitos e um truque algébrico para manipular repetições infinitas.

Passo 2

Seja x = 4,1999\ldots. Multiplicando ambos os lados por 10, obtemos
10x = 41,9999\ldots.

Passo 3

Subtraindo a igualdade original desta última, temos
10x - x = 41,9999\ldots - 4,1999\ldots
ou seja
9x = 37,8.
Daí
x = \frac{37,8}{9} = 4,2.

Resposta

Portanto,
4,2 = 4,1999\ldots

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