Exercício 0.3 Mostre que
1,24999 \cdots=1,25

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a expansão decimal
1{,}24999\cdots
é igual a
1{,}25.
O conteúdo principal aqui é entender que uma sequência infinita de noves numa expansão decimal pode ser somada como uma série geométrica e leva a um valor exato.

Passo 2

Vamos separar a parte não repetida da parte repetida. Note que
1{,}24999\cdots = 1{,}24 + 0{,}00999\cdots.
Aqui 1{,}24 são os dois primeiros algarismos decimais e 0{,}00999\cdots é o trecho em que os noves aparecem a partir da casa dos milésimos.

Passo 3

Escrevemos 0{,}00999\cdots como uma série geométrica. Cada termo é um nove sobre potências de 10 a partir de 10^3:
0{,}00999\cdots = \sum_{k=3}^{\infty} \frac{9}{10^k}.
Trata-se de uma série geométrica com primeiro termo
a = \frac{9}{10^3}
e razão
r = \frac{1}{10}.

Passo 4

Como a soma de uma série geométrica infinita com \lvert r\rvert<1 é \dfrac{a}{1-r}, temos
\sum_{k=3}^{\infty} \frac{9}{10^k} = \frac{\frac{9}{10^3}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{1000}}{\frac{9}{10}} = \frac{9}{1000}\cdot\frac{10}{9} = \frac{10}{1000} = 0{,}01.

Passo 5

Substituindo de volta em 1{,}24999\cdots, obtém-se
1{,}24999\cdots = 1{,}24 + 0{,}01 = 1{,}25.

Resposta

1{,}24999\cdots = 1{,}25.

Exercícios relacionados