Exercício 0.3 Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a expansão decimal
é igual a
O conteúdo principal aqui é entender que uma sequência infinita de noves numa expansão decimal pode ser somada como uma série geométrica e leva a um valor exato.
Passo 2
Vamos separar a parte não repetida da parte repetida. Note que
Aqui
são os dois primeiros algarismos decimais e
é o trecho em que os noves aparecem a partir da casa dos milésimos.
Passo 3
Escrevemos
como uma série geométrica. Cada termo é um nove sobre potências de 10 a partir de
:
Trata-se de uma série geométrica com primeiro termo
e razão
Passo 4
Como a soma de uma série geométrica infinita com
é
, temos
Passo 5
Substituindo de volta em
, obtém-se