Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância
\operatorname{Var}(X), usando a f.d.p da variável aleatória.
Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}\frac{(2+x)}{4}, & -2 \leq x<0, \\\ \frac{(2-x)}{4}, & 0 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de probabilidade da variável contínua X\) definida por \[f(x)= \begin{cases} \frac{2+x}{4}, & -2 \le x < 0,\\\ \frac{2-x}{4}, & 0 \le x \le 2, \end{cases}
e pede para verificar se f\] é de fato uma densidade (ou seja, \(f(x)\ge0 e \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1) e em seguida calcular
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx \quad\text{e}\quad \operatorname{Var}(X) =\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx - [E(X)]^2.

Passo 2

Verificamos primeiro a integral para a normalização:
\int_{-2}^{2}f(x)\,dx =\int_{-2}^{0}\frac{2+x}{4}\,dx +\int_{0}^{2}\frac{2-x}{4}\,dx.
No primeiro termo,
\int_{-2}^{0}\frac{2+x}{4}\,dx =\frac{1}{4}\Bigl[2x+\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{-2}^{0} =\frac{1}{4}\bigl(0-(-4+2)\bigr) =\frac{2}{4}=\frac12.
No segundo termo,
\int_{0}^{2}\frac{2-x}{4}\,dx =\frac{1}{4}\Bigl[2x-\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1}{4}(4-2) =\frac{2}{4}=\frac12.
Logo
\int_{-2}^{2}f(x)\,dx =\tfrac12+\tfrac12=1,
e como f(x)\ge0 em [-2,2], concluímos que f é uma densidade de probabilidade.

Passo 3

Para calcular E(X) usamos a definição. Observando que f é par (isto é, f(x)=f(-x)), a função x\,f(x) é ímpar e portanto
E(X) =\int_{-2}^{2}x\,f(x)\,dx =0.

Passo 4

Calculamos agora E(X^2). Pela simetria,
E(X^2) =\int_{-2}^{2}x^2\,f(x)\,dx =2\int_{0}^{2}x^2\frac{2-x}{4}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}x^2(2-x)\,dx.
Calculando a integral:
\int_{0}^{2}x^2(2-x)\,dx =\int_{0}^{2}(2x^2 - x^3)\,dx =\Bigl[\tfrac{2x^3}{3}-\tfrac{x^4}{4}\Bigr]_0^2 =\frac{16}{3}-4 =\frac{4}{3},
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E(X^2) =\frac12\cdot\frac{4}{3} =\frac{2}{3}.

Passo 5

Finalmente, a variância é
\operatorname{Var}(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =\frac{2}{3}-0^2 =\frac{2}{3}.

Resposta

E(X)=0
\operatorname{Var}(X)=\tfrac{2}{3}

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