Suponha que a f.d.p. de uma variável aleatória X seja f(x)=0,5 para -1 \leqslant x \leqslant 1 e zero para os demais valores. Encontre g(y), a f.d.p. de Y, e G(y), sua f.a.p, para:
(c) Y=e^{X}
Passo 1
O enunciado nos dá uma variável aleatória X\) com densidade
\[f_X(x)=\begin{cases} 0,5, & -1 \le x \le 1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
e define Y = e^X\]. Queremos encontrar a densidade \(g_Y(y) e a função de distribuição acumulada G_Y(y) de Y. O conteúdo principal aqui é a transformação de variáveis contínuas monótonas.
Passo 2
Observamos que a função h(x)=e^x é estritamente crescente em \mathbb{R}. Logo, a transformação Y=h(X) mantém a unicidade do mapeamento entre x e y.
Passo 3
Determinar o suporte de Y. Como X\in[-1,1], temos
Y = e^X \in [e^{-1},\,e^1] = \bigl[\,e^{-1},\,e\,\bigr].
Passo 4
Encontrar a inversa e o jacobiano:
x = h^{-1}(y) = \ln(y), \qquad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y}.
Pela fórmula da mudança de variável para densidades,