Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância
\operatorname{Var}(X), usando a f.d.p da variável aleatória.
Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
f(x)=\frac{x^{2}}{2}, x \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado dá a “densidade”
f(x)=\frac{x^{2}}{2},\quad x\ge0,
e pede para verificar se isso é de fato uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) e, em caso afirmativo, calcular
\;E(X)=\int x\,f(x)\,dx\; e \;\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.

Passo 2

Para ser f.d.p., precisa valer
\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{2}\,dx \stackrel{\phantom{a}}{=}\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}x^{2}\,dx.
Mas
\int_{0}^{\infty}x^{2}\,dx =\lim_{b\to\infty}\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{b} =\lim_{b\to\infty}\frac{b^{3}}{3} =\infty,
logo
\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\cdot\infty =\infty\neq1.

Passo 3

Como o “total de probabilidade” diverge, f(x) não é uma função densidade de probabilidade. Sem normalização válida, não faz sentido falar em E(X) ou \operatorname{Var}(X) finitos.

Resposta

A função não é uma f.d.p. (a integral sobre [0,\infty) diverge), portanto E(X) e \operatorname{Var}(X) não estão definidas.

Exercícios relacionados