Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância \operatorname{Var}(X), usando a f.d.p da variável aleatória.
Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X), se X tem tem uma função densidade dada por:
f(x)=\\{\begin{array}{cc}c\left(1-x^{2}\right), & -1<x<1, \\\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\\}á

Passo 1

O enunciado pede para calcular a média \,E(X)\, e a variância \,\operatorname{Var}(X)\, de uma variável aleatória contínua X cuja função densidade é
f(x)=\begin{cases} c\left(1-x^{2}\right), & -1<x<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{1. A densidade é }f(x)=c(1-x^{2})\text{ no intervalo }(-1,1).\\[2pt] &\text{2. O constante }c\text{ é desconhecido e deve ser determinado pela normalização.}\\[2pt] &\text{3. Precisamos calcular }E(X)\text{ e }\operatorname{Var}(X). \end{aligned}ééçã]

Passo 2

Vamos determinar o valor de \,c\, usando a condição de normalização da f.d.p.: a integral de f em toda a reta deve ser 1. Ou seja,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de (-1,1), isso vira
\int_{-1}^{1} c(1-x^{2})\,dx = 1.
Explicando a integral: usamos a regra básica de integração de potências, \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Calculamos a integral em duas partes:
\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,dx = \int_{-1}^{1}1\,dx - \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx.
Agora avaliamos cada termo:
\int_{-1}^{1}1\,dx = 2,
\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{1^{3}-(-1)^{3}}{3} = \dfrac{1-(-1)}{3} = \dfrac{2}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,dx = 2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}.
Voltando à equação de normalização:
c\cdot \dfrac{4}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad c = \dfrac{3}{4}.

Passo 3

Definição e cálculo de E(X). Para uma variável contínua, a média é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
No nosso caso isso é
E(X)=\int_{-1}^{1} x\cdot c(1-x^{2})\,dx = c\int_{-1}^{1} \bigl(x - x^{3}\bigr)\,dx.
Observação importante (simetria): a função 1-x^{2} é uma função par (ou seja, 1-(-x)^{2}=1-x^{2}), portanto f(x) é par. O integrando x\,f(x) é então uma função ímpar (produto de par por ímpar), e a integral de uma função ímpar em [-a,a] é zero. Assim já podemos concluir que
E(X)=0.
Se quiser ver pelo cálculo explícito:
\int_{-1}^{1} x\,dx = 0,\qquad \int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = 0,
logo E(X)=c(0-0)=0.

Passo 4

Definição e estratégia para \operatorname{Var}(X). A variância é
\operatorname{Var}(X)=E\bigl(X^{2}\bigr)-\bigl(E(X)\bigr)^{2}.
Como já achamos \,E(X)=0\,, segue que
\operatorname{Var}(X)=E\bigl(X^{2}\bigr).
Então calculamos
E\bigl(X^{2}\bigr)=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} x^{2}\cdot c(1-x^{2})\,dx = c\int_{-1}^{1} \bigl(x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx.
Agora usamos a regra de potências para integrar termo a termo.

Passo 5

Cálculo explícito de E(X^{2}). Avaliamos as integrais:
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{1^{3}-(-1)^{3}}{3} = \dfrac{2}{3},
\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = \left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{1^{5}-(-1)^{5}}{5} = \dfrac{2}{5}.
Substituindo:
\int_{-1}^{1} \bigl(x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx = \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{5} = 2\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right) = 2\cdot\dfrac{2}{15} = \dfrac{4}{15}.
Multiplicando pelo c que encontramos em

Passo 6

E(X^{2}) = c\cdot \dfrac{4}{15} = \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{4}{15} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})=\dfrac{1}{5}.

Resposta

E(X)=0
\operatorname{Var}(X)=\dfrac{1}{5}

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