Em cada um dos itens, calcular a média
e a variância
, usando a f.d.p da variável aleatória.
Calcule
e
, se
tem tem uma função densidade dada por:
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a média
e a variância
de uma variável aleatória contínua
cuja função densidade é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Vamos determinar o valor de
usando a condição de normalização da f.d.p.: a integral de
em toda a reta deve ser
. Ou seja,
Como
fora de
, isso vira
Explicando a integral: usamos a regra básica de integração de potências,
para
. Calculamos a integral em duas partes:
Agora avaliamos cada termo:
Portanto
Voltando à equação de normalização:
Passo 3
Definição e cálculo de
. Para uma variável contínua, a média é
No nosso caso isso é
Observação importante (simetria): a função
é uma função par (ou seja,
), portanto
é par. O integrando
é então uma função ímpar (produto de par por ímpar), e a integral de uma função ímpar em
é zero. Assim já podemos concluir que
Se quiser ver pelo cálculo explícito:
logo
.
Passo 4
Definição e estratégia para
. A variância é
Como já achamos
, segue que
Então calculamos
Agora usamos a regra de potências para integrar termo a termo.
Passo 5
Cálculo explícito de
. Avaliamos as integrais:
Substituindo:
Multiplicando pelo
que encontramos em
Passo 6
Portanto