Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = raiz(x + y^2 + (x^2 * e^(-2 * y))^3)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente reescrever a função dada como uma função composta e depois encontrar as derivadas parciais em relação a e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções compostas e a regra da cadeia para derivadas parciais. Então, bora dividir isso em etapas para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função como uma composição de funções. A função dada é:
Podemos decompor isso em funções menores para facilitar a derivação:
  1. Função interna: Vamos chamar de a parte que está dentro da raiz quadrada:
  2. Função externa: Agora, é a raiz quadrada de :
Então, temos como uma composição de e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Primeiro, calculamos :
Agora, vamos calcular :
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de em relação a é 0, já que é considerado constante.
  • A derivada de em relação a é , usando a regra da cadeia novamente.
Então,
Agora, juntando tudo:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra da cadeia:
Já sabemos que . Agora, vamos calcular :
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é 0.
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , novamente usando a regra da cadeia.
Então,
Agora, juntando tudo:
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais da função em relação a e são:
e

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