Em cada um dos itens dados a seguir, analise os sistemas e determine os valores do Tempo de acomodação
, da constante de tempo
, e do tempo de pico
, se houver, de suas respectivas respostas ao degrau unitário. Calcule também os valores dos parâmetros
e
. Utilize as técnicas de aproximação se necessário.
Passo 1
Beleza, a gente tem um sistema de terceira ordem
P(s)=\frac{18}{(s+12)(s^2+3s+8)}
O que a questão pede:
P(s)=\frac{18}{(s+12)(s^2+3s+8)}
O que a questão pede:
- Ganho em regime permanente k
- Parâmetros do segundo-ordem dominante: frequência natural ω_n e fator de amortecimento ζ
- Tempo de acomodação T_s
- Constante de tempo τ (do modo dominante)
- Tempo de pico T_p (se tiver sobre-sinal)
Pra resolver isso, a gente vai:
- calcular k=P(0)
- olhar o poli real em s=–12 e o par complexo de s^2+3s+8, achar ω_n e ζ desse par
- usar fórmulas de segundo-ordem (Tp, Ts e τ) usando o par dominante
Passo 2
-
Ganho em DC:
k = P(0) = \frac{18}{(0+12)(0^2+3·0+8)} = \frac{18}{12·8} = 0{,}1875 -
Par complexo dominante vem de s^2+3s+8:
• ω_n = \sqrt{8}\approx2{,}828,rad/s
• ζ = \frac{3}{2·ω_n} = \frac{3}{2·2{,}828}\approx0{,}53
O polo real em –12 é muito rápido (τ≈1/12≈0{,}083 s), então a dinâmica lenta é ditada pelo par complexo.
Passo 3
Agora as fórmulas do segundo-ordem:
-
Constante de tempo do modo dominante:
τ = \frac{1}{ζ·ω_n} = \frac{1}{0{,}53·2{,}828} ≈ \frac{1}{1{,}5} ≈0{,}67,s -
Tempo de pico (só existe se ζ<1, aqui a gente tem ζ≈0,53):
T_p = \frac{π}{ω_n\sqrt{1-ζ^2}}
= \frac{π}{2{,}828·\sqrt{1-0{,}53^2}}
= \frac{π}{2{,}828·0{,}848} ≈ \frac{3{,}1416}{2{,}40} ≈1{,}31,s
Passo 4
Tempo de acomodação (critério 2%):
T_s ≈ \frac{4}{ζ·ω_n} = \frac{4}{0{,}53·2{,}828} = \frac{4}{1{,}5} ≈2{,}67,s
T_s ≈ \frac{4}{ζ·ω_n} = \frac{4}{0{,}53·2{,}828} = \frac{4}{1{,}5} ≈2{,}67,s
Resposta
k = 0,1875
ω_n ≈ 2,828 rad/s
ζ ≈ 0,53
τ ≈ 0,67 s
T_p ≈ 1,31 s
T_s ≈ 2,67 s
ω_n ≈ 2,828 rad/s
ζ ≈ 0,53
τ ≈ 0,67 s
T_p ≈ 1,31 s
T_s ≈ 2,67 s