Em cada um dos itens dados a seguir, analise os sistemas e determine os valores do Tempo de acomodação Ts, da constante de tempo tau, e do tempo de pico Tp, se houver, de suas respectivas respostas ao degrau unitário. Calcule também os valores dos parâmetros k, omegan e zeta. Utilize as técnicas de aproximação se necessário.
P(s)=18(s+12)(s^2+3 s+8)

Passo 1

Beleza, a gente tem um sistema de terceira ordem
P(s)=\frac{18}{(s+12)(s^2+3s+8)}
O que a questão pede:
  • Ganho em regime permanente k
  • Parâmetros do segundo-ordem dominante: frequência natural ω_n e fator de amortecimento ζ
  • Tempo de acomodação T_s
  • Constante de tempo τ (do modo dominante)
  • Tempo de pico T_p (se tiver sobre-sinal)
    Pra resolver isso, a gente vai:
  1. calcular k=P(0)
  2. olhar o poli real em s=–12 e o par complexo de s^2+3s+8, achar ω_n e ζ desse par
  3. usar fórmulas de segundo-ordem (Tp, Ts e τ) usando o par dominante

Passo 2

  1. Ganho em DC:
    k = P(0) = \frac{18}{(0+12)(0^2+3·0+8)} = \frac{18}{12·8} = 0{,}1875
  2. Par complexo dominante vem de s^2+3s+8:
    • ω_n = \sqrt{8}\approx2{,}828,rad/s
    • ζ = \frac{3}{2·ω_n} = \frac{3}{2·2{,}828}\approx0{,}53
O polo real em –12 é muito rápido (τ≈1/12≈0{,}083 s), então a dinâmica lenta é ditada pelo par complexo.

Passo 3

Agora as fórmulas do segundo-ordem:
  1. Constante de tempo do modo dominante:
    τ = \frac{1}{ζ·ω_n} = \frac{1}{0{,}53·2{,}828} ≈ \frac{1}{1{,}5} ≈0{,}67,s
  2. Tempo de pico (só existe se ζ<1, aqui a gente tem ζ≈0,53):
    T_p = \frac{π}{ω_n\sqrt{1-ζ^2}}
    = \frac{π}{2{,}828·\sqrt{1-0{,}53^2}}
    = \frac{π}{2{,}828·0{,}848} ≈ \frac{3{,}1416}{2{,}40} ≈1{,}31,s

Passo 4

Tempo de acomodação (critério 2%):
T_s ≈ \frac{4}{ζ·ω_n} = \frac{4}{0{,}53·2{,}828} = \frac{4}{1{,}5} ≈2{,}67,s

Resposta

k = 0,1875
ω_n ≈ 2,828 rad/s
ζ ≈ 0,53
τ ≈ 0,67 s
T_p ≈ 1,31 s
T_s ≈ 2,67 s

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