Em cada um dos itens dados a seguir, analise os sistemas e determine os valores do Tempo de acomodação Ts, da constante de tempo tau, e do tempo de pico Tp, se houver, de suas respectivas respostas ao degrau unitário. Calcule também os valores dos parâmetros k, omegan e zeta. Utilize as técnicas de aproximação se necessário.
X(s)=10(s+50)(s+15)(s^2+s+1)

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá um sistema
X(s)=10,(s+50)(s+15),(s^2+s+1)
e pede para a resposta ao degrau unitário (ou seja, a saída quando aplicamos um passo de 1). Precisamos encontrar:
- Tempo de acomodação Ts (2% do valor final)
- Constante de tempo efetiva tau
- Tempo de pico Tp (se tiver ultrapassagem)
- E ainda os parâmetros do segundo-ordem equivalente: ganho k, frequência natural omegan e razão de amortecimento zeta.
Para isso vamos usar a técnica de aproximação de pólos dominantes, já que o sistema tem um pólo rápido em s=-15 e dois pólos lentos vindos de s^2+s+1.

Passo 2

Primeiro, a teoria básica:
  1. Um sistema de segunda ordem padrão tem a forma
    G(s)=k,omegan^2s^2+2zetaomegan,s+omegan^2,
    - omegan é a frequência natural
    - zeta é a razão de amortecimento
    - k é o ganho estático (valor final do degrau)
  2. Quando há um pólo muito mais à esquerda (aqui em -15), ele é “rápido” e pouco influencia na curva de resposta em larga escala. Então a gente “despreza” esse pólo e fica só com o segundo-ordem.

Passo 3

Vamos aproximar:
X(s) ≈ 10,(s+50)(s+15);cdot;1s^2+s+1
Para s pequeno (baixas frequências, degrau é constante no final),
s+50s+15approx0+500+15=5015=103
Logo
X2º(s)approx10cdot103s^2+s+1=tfrac1003s^2+s+1, º

Passo 4

Agora igualamos à forma padrão:
$$\frac{k,\omega_n2}{s2+2\zeta\omega_n,s+\omega_n^2}
 =\frac{\tfrac{100}{3}}{s^2+s+1}\,. $$  
Comparando denominadores:
  1. k,omegan^2s^2+2zetaomegan,s+omegan^2 =tfrac1003s^2+s+1, rad/s
  2. omegan^2=1;Rightarrow;omegan=1,
    Comparando numeradores:
2zetaomegan=1;Rightarrow;2zetacdot1=1;Rightarrow;zeta=0.5,

Passo 5

Com omegan e zeta em mãos, usamos as fórmulas-padrão para degrau unitário:
  1. Tempo de acomodação (2%)$$T_s\approx\frac{4}{\zeta,\omega_n}
           =\frac{4}{0.5\cdot1}=8\;\text{s}.$$  
    
  2. Constante de tempo equivalente$$\tau=\frac{1}{\zeta,\omega_n}
         =\frac{1}{0.5\cdot1}=2\;\text{s}.$$  
    
  3. Tempo de pico (quando tem ultrapassagem) Tsapprox4zeta,omegan =40.5cdot1=8;s

Resposta

  • k = 1003approx33.33
  • omegan = 1,rad/s
  • zeta = 0.5
  • tau = 2,s
  • Ts = 8,s
  • Tp approx 3.63,s

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