Em cada um dos itens dados a seguir, analise os sistemas e determine os valores do Tempo de acomodação
, da constante de tempo
, e do tempo de pico
, se houver, de suas respectivas respostas ao degrau unitário. Calcule também os valores dos parâmetros
e
. Utilize as técnicas de aproximação se necessário.
Passo 1
Beleza, o enunciado nos dá um sistema
e pede para a resposta ao degrau unitário (ou seja, a saída quando aplicamos um passo de 1). Precisamos encontrar:
- Tempo de acomodação
- Constante de tempo efetiva
- Tempo de pico
- E ainda os parâmetros do segundo-ordem equivalente: ganho
Para isso vamos usar a técnica de aproximação de pólos dominantes, já que o sistema tem um pólo rápido em
e dois pólos lentos vindos de
.
Passo 2
Primeiro, a teoria básica:
-
Um sistema de segunda ordem padrão tem a forma
-é a frequência natural
-é a razão de amortecimento
-é o ganho estático (valor final do degrau) -
Quando há um pólo muito mais à esquerda (aqui em
), ele é “rápido” e pouco influencia na curva de resposta em larga escala. Então a gente “despreza” esse pólo e fica só com o segundo-ordem.
Passo 3
Vamos aproximar:
X(s) ≈
Para pequeno (baixas frequências, degrau é constante no final),
Para
Logo
Passo 4
Agora igualamos à forma padrão:
$$\frac{k,\omega_n2}{s2+2\zeta\omega_n,s+\omega_n^2}
=\frac{\tfrac{100}{3}}{s^2+s+1}\,. $$
Comparando denominadores:
-
rad/s -
Comparando numeradores:
Passo 5
Com
e
em mãos, usamos as fórmulas-padrão para degrau unitário:
- Tempo de acomodação (2%)$$T_s\approx\frac{4}{\zeta,\omega_n}
=\frac{4}{0.5\cdot1}=8\;\text{s}.$$
- Constante de tempo equivalente$$\tau=\frac{1}{\zeta,\omega_n}
=\frac{1}{0.5\cdot1}=2\;\text{s}.$$
- Tempo de pico (quando tem ultrapassagem)
Resposta
- k =
-
rad/s -
-
s -
s -
s