Em cada um dos itens dados a seguir, analise os sistemas e determine os valores do Tempo de acomodação Ts, da constante de tempo tau, e do tempo de pico Tp, se houver, de suas respectivas respostas ao degrau unitário. Calcule também os valores dos parâmetros k, omegan e zeta. Utilize as técnicas de aproximação se necessário.
H(s)=32(s^2+3 s+8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema representado pela função de transferência . O objetivo é encontrar o Tempo de Acomodação ( ), a constante de tempo ( ), o Tempo de Pico ( ) se existir, e também os parâmetros , e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas do segundo ordem e como relacionar esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos comparar a função de transferência dada com a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
H(s) = K omegan^2s^2 + 2zeta omegan s + omegan^2
Aqui, é o ganho do sistema, é a frequência natural, e é o fator de amortecimento.

Passo 3

Observando a função de transferência fornecida:
H(s) = 32s^2 + 3s + 8
Podemos identificar que:
2zeta omegan = 3 e omegan^2 = 8

Passo 4

Vamos resolver para omegan = raiz8 = 2raiz2 approx 2.828 , rad/s :

Passo 5

Com 2zeta omegan = 3 Rightarrow zeta = 32 omegan = 32 times 2.828 approx 0.530 encontrado, podemos achar :

Passo 6

Agora, o ganho K = 32 é simplesmente o numerador da função de transferência padrão, então:

Passo 7

Com Ts approx 4zeta omegan e Ts approx 40.530 times 2.828 approx 41.500 approx 2.667 , segundos conhecidos, vamos calcular o Tempo de Acomodação ( ). Uma aproximação comum para é:
Substituindo os valores:

Passo 8

A constante de tempo ( tau = 1zeta omegan ) para sistemas subamortecidos pode ser relacionada à frequência natural e ao fator de amortecimento. Uma fórmula comum é:
tau = 10.530 times 2.828 approx 11.500 approx 0.667 , segundos
Então:

Passo 9

Para o Tempo de Pico ( Tp = piomegan raiz1 - zeta^2 ), que ocorre se o sistema é subamortecido ( Tp = pi2.828 times raiz1 - 0.530^2 approx 3.14162.828 times raiz0.719 approx 3.14162.828 times 0.848 approx 3.14162.399 approx 1.308 , segundos ), usamos:
Calculando:

Resposta

Os valores calculados para o sistema são:
  • Tempo de Acomodação ( ): aproximadamente 2.667 segundos
  • Constante de tempo ( ): aproximadamente 0.667 segundos
  • Tempo de Pico ( ): aproximadamente 1.308 segundos
  • Parâmetros: , ,

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