Em cada um dos itens dados a seguir, analise os sistemas e determine os valores do Tempo de acomodação
, da constante de tempo
, e do tempo de pico
, se houver, de suas respectivas respostas ao degrau unitário. Calcule também os valores dos parâmetros
e
. Utilize as técnicas de aproximação se necessário.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função de transferência dada por
. Nosso objetivo é analisar esse sistema para encontrar o Tempo de Acomodação
, a constante de tempo
, o Tempo de Pico
(se existir), e também os parâmetros
,
(frequência natural) e
(amortecimento). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de segunda ordem e como eles se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos comparar a nossa função de transferência com a forma padrão de um sistema de segunda ordem, que é:
Aqui,
é o ganho estático,
é a frequência natural, e
é o fator de amortecimento. Nosso objetivo é identificar esses parâmetros comparando as duas expressões.
Passo 3
Vamos igualar os denominadores das duas funções de transferência:
Agora, igualando os coeficientes correspondentes:
Resolvendo a equação (2) para
:
Agora, substituímos
na equação (1) para encontrar
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos encontrar o Tempo de Acomodação
. Para um sistema subamortecido (
), o Tempo de Acomodação pode ser aproximado por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
A constante de tempo
é geralmente associada a sistemas de primeira ordem, mas para sistemas de segunda ordem, podemos relacioná-la com a frequência natural e o fator de amortecimento. Uma forma de definir
em termos de
e
é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos determinar o Tempo de Pico
, que é o tempo até o primeiro pico da resposta ao degrau. A fórmula para
é:
Substituindo os valores:
Resposta
Os valores calculados para o sistema dado são:
- Tempo de Acomodação
: aproximadamente 1,603 segundos - Constante de Tempo
: aproximadamente 0,400 segundos - Tempo de Pico
: aproximadamente 0,586 segundos - Parâmetros:
- Ganho estático
- Frequência natural
- Fator de amortecimento
- Ganho estático