Em cada um dos itens dados a seguir, analise os sistemas e determine os valores do Tempo de acomodação Ts, da constante de tempo tau, e do tempo de pico Tp, se houver, de suas respectivas respostas ao degrau unitário. Calcule também os valores dos parâmetros k, omegan e zeta. Utilize as técnicas de aproximação se necessário.
G(s)=3(s^2+5 s+35)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função de transferência dada por . Nosso objetivo é analisar esse sistema para encontrar o Tempo de Acomodação , a constante de tempo , o Tempo de Pico (se existir), e também os parâmetros , (frequência natural) e (amortecimento). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de segunda ordem e como eles se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos comparar a nossa função de transferência com a forma padrão de um sistema de segunda ordem, que é:
G(s) = k omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
Aqui, é o ganho estático, é a frequência natural, e é o fator de amortecimento. Nosso objetivo é identificar esses parâmetros comparando as duas expressões.

Passo 3

Vamos igualar os denominadores das duas funções de transferência:
s^2 + 5s + 35 = s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
Agora, igualando os coeficientes correspondentes:
2 zeta omegan = 5 (1)
omegan^2 = 35 (2)
Resolvendo a equação (2) para omegan = raiz35 approx 5,916 , rad/s :
2 zeta (5,916) = 5 Rightarrow zeta = 52 times 5,916 approx 0,422
Agora, substituímos na equação (1) para encontrar :

Passo 4

Agora que temos Ts approx 4zeta omegan e Ts approx 40,422 times 5,916 approx 42,497 approx 1,603 , segundos , vamos encontrar o Tempo de Acomodação . Para um sistema subamortecido ( ), o Tempo de Acomodação pode ser aproximado por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

A constante de tempo tau = 1zeta omegan é geralmente associada a sistemas de primeira ordem, mas para sistemas de segunda ordem, podemos relacioná-la com a frequência natural e o fator de amortecimento. Uma forma de definir tau = 10,422 times 5,916 approx 12,497 approx 0,400 , segundos em termos de e é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos determinar o Tempo de Pico Tp = piomegan raiz1 - zeta^2 , que é o tempo até o primeiro pico da resposta ao degrau. A fórmula para Tp = pi5,916 raiz1 - 0,422^2 approx 3,14165,916 times 0,906 approx 3,14165,358 approx 0,586 , segundos é:
Substituindo os valores:

Resposta

Os valores calculados para o sistema dado são:
  • Tempo de Acomodação : aproximadamente 1,603 segundos
  • Constante de Tempo : aproximadamente 0,400 segundos
  • Tempo de Pico : aproximadamente 0,586 segundos
  • Parâmetros:
    • Ganho estático
    • Frequência natural
    • Fator de amortecimento

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