Em cada um dos itens dados a seguir, analise os sistemas e determine os valores do Tempo de acomodação Ts, da constante de tempo tau, e do tempo de pico Tp, se houver, de suas respectivas respostas ao degrau unitário. Calcule também os valores dos parâmetros k, omegan e zeta. Utilize as técnicas de aproximação se necessário.
Y(s)=1(s+12)(s^2+9 s+8)

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Temos a função de transferência
Y(s)=1(s+12),(s^2+9s+8)
e queremos determinar, na resposta ao degrau unitário, os seguintes parâmetros:
  • Tempo de acomodação
  • Constante de tempo
  • Tempo de pico (se houver)
  • Ganho estático
  • Frequência natural
  • Fator de amortecimento
O conteúdo aqui envolve: fatorar polinômios pra achar polos, entender tempo de acomodação de sistemas de 1ª e 2ª ordem, e comparar o bloco de 2ª ordem com o modelo padrão . A ideia vai ser:
  1. fatorar e achar polos;
  2. calcular ;
  3. identificar dominante para e ;
  4. ver se tem pico (se há parte oscilatória);
  5. para o segundo-ordem extrair e .

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador em polos reais:
s^2 + 9s + 8 = (s + 1)(s + 8)
Logo
Y(s) = 1(s+12)(s+8)(s+1)
Os polos são em k = limsto 0 Y(s) = 1(0+12)(0+8)(0+1) = 196 , e .
O ganho estático (resposta em regime permanente ao degrau unitário) é

Passo 3

Para achar a constante de tempo e o tempo de acomodação, a gente olha o polo dominante (o mais “lento”), que é o de menor módulo real: tau = 1|,polo dominante| = 11 = 1;s .
  • A constante de tempo desse polo é
Ts approx 4,tau = 4;s
  • O tempo de acomodação (critério 2% para polo real) costuma ser

Passo 4

O sistema tem todos os polos reais, não há par complexo conjugado, então NÃO HÁ oscilação e, consequentemente, NÃO HÁ tempo de pico .

Passo 5

Para extrair s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2 e 2zetaomegan = 9, omegan^2 = 8 a gente compara o fator omegan = raiz8approx 2,828;rad/s, zeta = 92,omegan = 92times2,828approx1,59 com o modelo padrão de segunda ordem:
Logo:
Daí

Resposta

k = 1/96 ≃ 0,0104
τ = 1 s
Ts ≃ 4 s
Não há Tp (sem pico)
ωn ≃ 2,828 rad/s
ζ ≃ 1,59

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