Para cada um dos itens, encontre os máximos e os mínimos globais da função f(x) no intervalo I. Dica: Use o Teorema do Intervalo Fechado.
f(x)=x-3 \ln (x), I=[1,4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos globais da função
f(x)=x-3\ln(x)
no intervalo fechado I=[1,4]. O método é o Teorema do Intervalo Fechado: a gente calcula as derivadas para achar pontos críticos internos e depois compara os valores de f nesses pontos e nos endpoints x=1 e x=4.

Passo 2

Primeiro, acha a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-3\ln(x)\bigr) =1-\frac{3}{x} =\frac{x-3}{x}.
Igualando a zero para ver pontos críticos:
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=3.
Como 3\in(1,4), esse é o único ponto crítico interno.

Passo 3

Agora avalia f em x=1, x=3 e x=4:
f(1)=1-3\ln(1)=1-3\cdot0=1,
f(3)=3-3\ln(3)=3-3\ln(3),
f(4)=4-3\ln(4)=4-3\ln(4).

Passo 4

Para decidir qual é maior ou menor, note que \ln(3)\approx1,10 e \ln(4)\approx1,39, então
f(3)\approx3-3\cdot1,10\approx-0,30, \quad f(4)\approx4-3\cdot1,39\approx-0,16, \quad f(1)=1.
Portanto
f(3)<f(4)<f(1),
logo o mínimo global ocorre em x=3 e o máximo global em x=1.

Resposta

Mínimo global: f(3)=3-3\ln(3) em x=3.
Máximo global: f(1)=1 em x=1.

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