Qual o comprimento de onda de um fóton emitido quando um átomo de hidrogênio realiza uma transição do estado \mathrm{n}=6 para o primeiro estado excitado?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda do fóton emitido quando um átomo de hidrogênio faz a transição de n=6 para o primeiro estado excitado ( n=2). Vamos usar o modelo de Bohr, em que os níveis de energia são dados por
E_n = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{n^2}
e a relação entre energia do fóton e comprimento de onda,
\lambda = \frac{hc}{E_{\text{fóton}}}.ó

Passo 2

Calculamos as energias dos níveis inicial e final em elétron-volts:
E_6 = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{6^2} = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{36} = -0,378\,\mathrm{eV},
E_2 = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{2^2} = -\frac{13,6\,\mathrm{eV}}{4} = -3,4\,\mathrm{eV}.

Passo 3

A energia do fóton emitido é a diferença dos níveis (valor absoluto):
\Delta E = E_2 - E_6 = -3,4\,\mathrm{eV} - (-0,378\,\mathrm{eV}) = -3,022\,\mathrm{eV},
E_{\text{fóton}} = |\Delta E| = 3,022\,\mathrm{eV}.ó
Convertendo para joules ( 1\,\mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\,\mathrm{J}):
E_{\text{fóton}} = 3,022 \times 1,602\times10^{-19}\,\mathrm{J} = 4,84\times10^{-19}\,\mathrm{J}.ó

Passo 4

Usamos \lambda = hc/E_{\text{fóton}}ó com h=6,626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s} e c=2,998\times10^8\,\mathrm{m/s}:
\lambda = \frac{6,626\times10^{-34}\times2,998\times10^8}{4,84\times10^{-19}}\,\mathrm{m} =4,11\times10^{-7}\,\mathrm{m}.
Em nanômetros:
\lambda \approx 411\,\mathrm{nm}.

Resposta

\lambda \approx 4,11\times10^{-7}\,\mathrm{m} (ou 411\,\mathrm{nm}).

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