Utilize a Regra de L’Hôpital para calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1-e^{\frac{1}{x}}}{\frac{-3}{x}}

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem que fazer: calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{1 - e^{1/x}}{-3/x}.
Aqui o conteúdo é a Regra de l’Hôpital, já que parece que vamos dar de cara com uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Para ver a indeterminação, note que quando x\to+\infty temos
\tfrac1x\to0, logo e^{1/x}\to e^0=1.
O numerador vai a 1-1=0 e o denominador -3/x\to0.
Portanto é mesmo do tipo \tfrac{0}{0} e podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente. Seja
f(x)=1 - e^{1/x}, \quad g(x)=-\frac{3}{x}.
Então
f'(x) =-\frac{d}{dx}\bigl(e^{1/x}\bigr) =-e^{1/x}\cdot\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr) =\frac{e^{1/x}}{x^2},
g'(x) =-\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3}{x}\Bigr) =-\Bigl(-\frac{3}{x^2}\Bigr) =\frac{3}{x^2}.
A razão das derivadas fica
\frac{f'(x)}{g'(x)} =\frac{\frac{e^{1/x}}{x^2}}{\frac{3}{x^2}} =\frac{e^{1/x}}{3}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite dessa nova expressão:
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{1/x}}{3} =\frac{e^0}{3} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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