Em cada um dos itens a seguir, defina uma função

Passo 1

O enunciado define a função fcolon DsubsetRtoR por partes
f(x)= dfracpi2-|x|, & se |x|<dfracpi2,[6pt] cos x, & se |x|>=dfracpi2,
e pede:
– Esboçar o gráfico;
– Determinar quais funções têm domínio limitado ou ilimitado;
– Determinar a imagem de cada função;
– Verificar quais são limitadas ou ilimitadas;
– Identificar quais são pares ou ímpares.]

Passo 2

Determinar o domínio D. As condições |x|<tfracpi2 e |x|>=tfracpi2 cobrem todos os xinR. Portanto
D=R,
que é ilimitado.

Passo 3

Esboço do gráfico.
– Para |x|<tfracpi2, f(x)=tfracpi2-|x| é uma “viga” invertida que atinge o valor máximo tfracpi2 em x=0 e desce linear até f(pmtfracpi2)=0.
– Para |x|>=tfracpi2, f(x)=cos x começa em cos(pmtfracpi2)=0 e oscila entre -1 e 1 normalmente.

Passo 4

Determinar a imagem de f.
– Na parte central ( |x|<tfracpi2), f(x) varia de 0 a tfracpi2.
– Na parte |x|>=tfracpi2, cos x varia em [-1,1].
União das duas partes:
Im(f)=[-1,tfracpi2]

Passo 5

Verificar se f é limitada. Como Im(f) é o intervalo [-1,tfracpi2], que é finito, concluímos que f é limitada.

Passo 6

Verificar paridade. Para cada xinR:
– Se |x|<tfracpi2, então |-x|=|x| e
f(-x)=tfracpi2-|-x|=tfracpi2-|x|=f(x)
– Se |x|>=tfracpi2, então cos(-x)=cos x e
f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x)
Logo f é par.

Resposta

D = R (ilimitado)
Gráfico: “viga” invertida para |x|<tfracpi2 unida ao coseno para |x|>=tfracpi2 Im(f)=[-1,tfracpi2] f é limitada
f é par

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