8^a Questão: Determine a antiderivada abaixo. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
integral(raizx-1raizx) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma antiderivada de
integrall(raizx-tfrac1raizxr),dx
Conteúdo: integração de funções potenciais. Vamos usar a regra
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C, nneq -1

Passo 2

Reescrevendo em potências:
raizx=x^tfrac12 e tfrac1raizx=x^-tfrac12.
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integrall(raizx-tfrac1raizxr),dx =integral x^tfrac12,dx ;-;integral x^-tfrac12,dx

Passo 3

Aplicando a regra de potência em cada integral:
integral x^tfrac12,dx =x^tfrac12+1tfrac12+1 =x^tfrac32tfrac32 =23x^tfrac32,
integral x^-tfrac12,dx =x^-tfrac12+1-tfrac12+1 =x^tfrac12tfrac12 =2,x^tfrac12
Portanto, uma antiderivada geral é
F(x)=23x^tfrac32-2,x^tfrac12+C

Passo 4

Verificação pelo cálculo da derivada:
F'(x) =23cdot32x^tfrac12 -2cdottfrac12,x^-tfrac12 =x^tfrac12-x^-tfrac12,
que coincide com o integrando.

Resposta

boxed,23x^tfrac32-2,x^tfrac12+C,

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