Seja 0<beta<1. Prove que se f satisfaz |f(x)| >=|x|^beta e f(0)=0, então f não é diferenciável em 0 .

Passo 1

O enunciado dá uma função f tal que f(0)=0 e, para todo x próximo de zero,
|f(x)| ,>=, |x|^beta,
onde 0<beta<1. Queremos mostrar que f não é diferenciável em 0. Vamos usar a definição de derivada em zero e o comportamento de potências com expoente negativo.

Passo 2

Pela definição, se existisse f'(0) finito, teríamos
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x=limxto0f(x)x
Usando f(0)=0 e a desigualdade do enunciado, obtemos
|f(x)x|;>=;|x|^beta|x|;=;|x|^beta-1

Passo 3

Como beta-1<0, quando xto0 temos
|x|^beta-1to+infty
Logo l|f(x)/xr| fica arbitrariamente grande e não pode convergir a nenhum número finito.

Passo 4

O limite da diferença de quociente não existe como número finito, portanto f'(0) não existe.

Resposta

f não é diferenciável em 0.

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