Seja
. Prove que se
satisfaz
e
, então
não é diferenciável em 0 .
Passo 1
O enunciado dá uma função
tal que
e, para todo
próximo de zero,
onde
. Queremos mostrar que
não é diferenciável em
. Vamos usar a definição de derivada em zero e o comportamento de potências com expoente negativo.
Passo 2
Pela definição, se existisse
finito, teríamos
Usando
e a desigualdade do enunciado, obtemos
Passo 3
Como
beta-1<0 , quando
xto0 temos
Logo
l|f(x)/xr| fica arbitrariamente grande e não pode convergir a nenhum número finito.
Passo 4
O limite da diferença de quociente não existe como número finito, portanto
f'(0) não existe.