Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=e^x

Passo 1

O enunciado pede para a função fcolon DsubsetRtoR definida por
f(x)=e^x
que identifiquemos o domínio, a imagem, a limitação (se é limitada ou não), a paridade (par, ímpar ou nenhuma) e, por fim, esbocemos o gráfico.

Passo 2

A função exponencial e^x está bem definida para todo xinR, pois não há nenhuma restrição ao colocar x no expoente. Logo,
D = R,
que é um domínio ilimitado.

Passo 3

Como e^x>0 para todo x, os valores que a função assume são todos os números positivos. Assim, a imagem é
Im(f)=(0,infty)

Passo 4

Em termos de limites da função, vemos que
limxto -inftye^x=0 e limxto +inftye^x=+infty
Portanto f é limitada inferiormente (por zero), mas não é limitada superiormente. No sentido estrito, chamamos essa função de não limitada.

Passo 5

Para verificar paridade, comparamos f(-x) com f(x) e com -f(x):
f(-x)=e^-x=1e^xneq e^x=f(x),
f(-x)=1e^xneq -,e^x=-f(x)
Logo, a função não é nem par nem ímpar.

Passo 6

O esboço do gráfico de y=e^x tem as seguintes características:
  1. Passa por (0,1).
  2. É estritamente crescente e convexa.
  3. Tem assíntota horizontal y=0 quando xto -infty.
  4. Cresce sem limite quando xto +infty.
Em palavras, começa muito próxima de zero à esquerda e sobe rapidamente para valores grandes à direita.

Resposta

Domínio: R (ilimitado)
Imagem: (0,infty)
Limitada? Limitada inferiormente mas não superiormente (logo, não limitada)
Paridade: nem par nem ímpar
Gráfico: crescente, convexa, com assíntota y=0 e ponto (0,1).

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