Questão 5 - Valor 4 pts
Verifique se as EDO’s são homogêneas.
(x^2+y^2) d x+(x^2-x y) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
l(x^2+y^2r),dx ;+;l(x^2-x,yr),dy ;=;0
e pede para verificar se ela é homogênea. Uma equação M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 é dita homogênea de grau n se tanto M quanto N satisfazem
M(t x,t y)=t^nM(x,y) e N(t x,t y)=t^nN(x,y)
para todo t.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=x^2+y^2, N(x,y)=x^2-x,y
Então, substituindo (x,y)mapsto(t x,t y), temos
M(t x,t y)=(t x)^2+(t y)^2 =t^2l(x^2+y^2r) =t^2M(x,y),
N(t x,t y)=(t x)^2-(t x)(t y) =t^2l(x^2-x,yr) =t^2N(x,y)

Passo 3

Como ambos M e N satisfazem a condição de homogeneidade com n=2, concluímos que a equação diferencial é homogênea de grau 2.

Resposta

A equação é homogênea de grau 2.

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