Seja f(x)=x^2 se x é racional, e f(x)=0 se x é irracional. Prove que f é diferenciável em 0 . (Não se assuste com esta questão. Apenas escreva a definição de f^prime(0).)

Passo 1

O enunciado define
f(x)=x^2,&xinQ,[6pt]0,&xnotinQ,
e pede para mostrar que f é diferenciável em 0. O conteúdo aqui é a definição de derivada em um ponto:
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h ]

Passo 2

Calculamos primeiro f(0). Como 0 é racional, temos
f(0)=0^2=0
Logo a diferença quociente em torno de 0 fica
f(h)-f(0)h=f(h)h

Passo 3

Precisamos entender dfracf(h)h quando hto0. Há dois casos:
  • Se hinQ, então f(h)=h^2 e f(h)h=h^2h=h
  • Se hnotinQ, então f(h)=0 e f(h)h=0

Passo 4

Para provar que limhto0tfracf(h)h=0 usamos um argumento varepsilon- de<a. Seja varepsilon>0. Escolha de<a=varepsilon. Então, se lvert hrvert<de<a, temos
  • no caso racional, llverttfracf(h)h-0rrvert=lvert hrvert<de<a=varepsilon,
  • no caso irracional, llverttfracf(h)h-0rrvert=0<varepsilon.
    Em ambos os casos llverttfracf(h)h-0rrvert<varepsilon. Logo
limhto0f(h)h=0

Resposta

f'(0)=0

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