Seja
se
é racional, e
se
é irracional. Prove que
é diferenciável em 0 . (Não se assuste com esta questão. Apenas escreva a definição de
.)
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é diferenciável em
. O conteúdo aqui é a definição de derivada em um ponto:
Passo 2
Calculamos primeiro
. Como
é racional, temos
Logo a diferença quociente em torno de
fica
Passo 3
Precisamos entender
quando
. Há dois casos:
- Se
, então e - Se
, então e
Passo 4
Para provar que
usamos um argumento
-
. Seja
. Escolha
. Então, se
, temos
- no caso racional,
, - no caso irracional,
.llverttfracf(h)h-0rrvert=0<varepsilon
Em ambos os casos . Logollverttfracf(h)h-0rrvert<varepsilon