Para cada um dos itens a seguir, determine uma base e a dimensão do subespaço S do espaço vetorial V.
S=\left\{(x, y, z, w, t) \in \mathbb{R}^{5} \mid x+y-a z+3 w+t=0 \mathrm{e} 2 x-y+z+2 a w+5 t=0\right\}, sendo a \in \mathbb{R}, e V=\mathbb{R}^{5}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = \{(x,y,z,w,t)\in\mathbb{R}^5 \mid x+y - a z +3w + t = 0 \text{ e } 2x - y + z +2a w +5t = 0\},
onde a\in\mathbb{R}.
O conteúdo é resolver um sistema homogêneo de duas equações lineares em cinco incógnitas e usar o Teorema do Núcleo e Posto para determinar dimensão e base de S.

Passo 2

Escrevendo o sistema na forma matricial, temos
\begin{cases} x+y - a z +3w + t =0,\\\\ 2x - y + z +2a w +5t =0. \end{cases}
A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -a & 3 & 1\\\\ 2 & -1 & 1 & 2a & 5 \end{pmatrix}.
Para qualquer a, as duas linhas não são múltiplos uma da outra (basta ver que se a segunda fosse 2 vezes a primeira teríamos -1=2, absurdo). Logo
\mathrm{posto}(A)=2.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Posto em \mathbb{R}^5,
\dim S = 5 - \mathrm{posto}(A) = 5 - 2 = 3.

Passo 4

Para encontrar uma base de S, expressamos duas variáveis em função de três livres. Escolhemos z,w,t livres.
Da primeira equação
x = -\,y + a z -3w - t.
Substituindo em 2x - y + z +2a w +5t =0 obtemos
-3y + (2a+1)z + (2a-6)w +3t = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{(2a+1)z + (2a-6)w +3t}{3}.
Logo
x = \frac{(a-1)z - (2a+3)w -6t}{3}, \quad y = \frac{(2a+1)z + (2a-6)w +3t}{3}.

Passo 5

Escrevendo o vetor (x,y,z,w,t) em função de (z,w,t), temos
(x,y,z,w,t) = z\!\left(\frac{a-1}{3},\,\frac{2a+1}{3},\,1,\,0,\,0\right) + w\!\left(-\frac{2a+3}{3},\,\frac{2a-6}{3},\,0,\,1,\,0\right) + t\!\left(-2,\,1,\,0,\,0,\,1\right).
Dessa forma, uma base de S é
\Bigl\{ \bigl(\tfrac{a-1}{3},\tfrac{2a+1}{3},1,0,0\bigr),\; \bigl(-\tfrac{2a+3}{3},\tfrac{2a-6}{3},0,1,0\bigr),\; (-2,1,0,0,1) \Bigr\}.

Resposta

Uma base de S é
\Bigl\{ \bigl(\tfrac{a-1}{3},\tfrac{2a+1}{3},1,0,0\bigr),\; \bigl(-\tfrac{2a+3}{3},\tfrac{2a-6}{3},0,1,0\bigr),\; (-2,1,0,0,1) \Bigr\},
e \dim S = 3.

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