Para cada um dos itens a seguir, determine uma base e a dimensão do subespaço S do espaço vetorial V. S=\left\{(x, y, z, w, t) \in \mathbb{R}^{5} \mid x+y-a z+3 w+t=0 \mathrm{e} 2 x-y+z+2 a w+5 t=0\right\}, sendo a \in \mathbb{R}, e V=\mathbb{R}^{5}.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
S = \{(x,y,z,w,t)\in\mathbb{R}^5 \mid x+y - a z +3w + t = 0 \text{ e } 2x - y + z +2a w +5t = 0\},
onde a\in\mathbb{R}.
O conteúdo é resolver um sistema homogêneo de duas equações lineares em cinco incógnitas e usar o Teorema do Núcleo e Posto para determinar dimensão e base de S.
Passo 2
Escrevendo o sistema na forma matricial, temos
\begin{cases} x+y - a z +3w + t =0,\\\\ 2x - y + z +2a w +5t =0. \end{cases}