Para cada um dos itens a seguir, determine se a equação diferencial é ou não separável:
\frac{d y}{d t}=\frac{1+t^{2}}{3 y-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a equação diferencial é ou não separável.
A equação dada é \dfrac{d y}{d t}=\dfrac{1+t^{2}}{3 y-y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita dependente é y (função de t).
  • A incógnita independente é t.
  • O lado direito da equação é a razão \dfrac{1+t^{2}}{3y-y^{2}}, que depende de t (no numerador) e de y (no denominador).

Passo 2

O que significa “equação separável”?
Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
\frac{d y}{d t}=G(t)\,H(y),
onde G(t) é uma função que depende somente de t e H(y) é uma função que depende somente de y. Nesse caso é possível “separar” as variáveis, agrupando os termos em y com dy e os termos em t com dt, e depois integrar cada lado.
Aqui, y é a função desconhecida que queremos encontrar e t é a variável independente. A notação \dfrac{d y}{d t} significa a derivada de y em relação a t (a taxa de variação de y quando t varia).

Passo 3

Verificar se o lado direito pode ser escrito como produto de uma função só de t por uma função só de y. Observando
\frac{1+t^{2}}{3 y-y^{2}}=(1+t^{2})\cdot\frac{1}{3y-y^{2}}.
Aqui G(t)=1+t^{2} (depende apenas de t) e H(y)=\dfrac{1}{3y-y^{2}} (depende apenas de y). Portanto o lado direito está exatamente na forma G(t)H(y). Logo a equação é separável.

Passo 4

Mostrar como se separa (procedimento que normalmente se pede depois de reconhecer separabilidade): multiplicar ambos os lados por 3y-y^{2} e por dt para colocar todos os termos em y com dy e os termos em t com dt:
(3y-y^{2})\,\frac{d y}{d t}=1+t^{2} \quad\Longrightarrow\quad (3y-y^{2})\,dy=(1+t^{2})\,dt.
Agora as variáveis estão separadas: todo o lado esquerdo é função de y vezes dy, e o lado direito é função de t vezes dt.

Passo 5

Explicar a integração (como seguir na prova): integrar ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int (3y-y^{2})\,dy = \int (1+t^{2})\,dt.
Calcular as primitivas passo a passo:
  • \displaystyle \int 3y\,dy = \frac{3}{2}y^{2} porque \int y\,dy=\tfrac{1}{2}y^{2}.
  • \displaystyle \int y^{2}\,dy = \frac{1}{3}y^{3}.
  • \displaystyle \int 1\,dt = t.
  • \displaystyle \int t^{2}\,dt = \frac{1}{3}t^{3}.
Portanto obtém-se a solução implícita geral (com constante de integração C):
\frac{3}{2}y^{2}-\frac{1}{3}y^{3}=t+\frac{1}{3}t^{3}+C.

Passo 6

Observações importantes (para a prova e para a validade da separação):
  • A separação e integração acima só fazem sentido onde a função do lado direito é bem definida; ou seja, onde 3y-y^{2}\neq 0. Note que 3y-y^{2}=y(3-y) se anula em y=0 e y=3. Nessas alturas a equação original tem singularidade (denominador zero) e não se pode multiplicar por 3y-y^{2} sem cuidado. Em geral, soluções contínuas não podem atravessar esses valores sem consideração especial.
  • Se for pedido, pode também isolar y explicitamente da expressão implícita, mas isso pode ser algébrica e nem sempre necessário na prova; a forma implícita é suficiente para muitas questões.

Resposta

Separável.

Exercícios relacionados