Para cada um dos itens a seguir, determine se a equação diferencial é ou não separável:
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a equação diferencial é ou não separável.
A equação dada é .
Informações relevantes fornecidas:
A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita dependente é
(função de ). - A incógnita independente é
. - O lado direito da equação é a razão
, que depende de (no numerador) e de (no denominador).
Passo 2
O que significa “equação separável”?
Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
onde
é uma função que depende somente de
e
é uma função que depende somente de
. Nesse caso é possível “separar” as variáveis, agrupando os termos em
com
e os termos em
com
, e depois integrar cada lado.
Aqui, é a função desconhecida que queremos encontrar e
é a variável independente. A notação
significa a derivada de
em relação a
(a taxa de variação de
quando
varia).
Aqui,
Passo 3
Verificar se o lado direito pode ser escrito como produto de uma função só de
por uma função só de
. Observando
Aqui
(depende apenas de
) e
(depende apenas de
). Portanto o lado direito está exatamente na forma
. Logo a equação é separável.
Passo 4
Mostrar como se separa (procedimento que normalmente se pede depois de reconhecer separabilidade): multiplicar ambos os lados por
e por
para colocar todos os termos em
com
e os termos em
com
:
Agora as variáveis estão separadas: todo o lado esquerdo é função de
vezes
, e o lado direito é função de
vezes
.
Passo 5
Explicar a integração (como seguir na prova): integrar ambos os lados em relação às suas variáveis:
Calcular as primitivas passo a passo:
-
porque . -
. -
. -
.
Portanto obtém-se a solução implícita geral (com constante de integração
):
Passo 6
Observações importantes (para a prova e para a validade da separação):
- A separação e integração acima só fazem sentido onde a função do lado direito é bem definida; ou seja, onde
. Note que se anula em e . Nessas alturas a equação original tem singularidade (denominador zero) e não se pode multiplicar por sem cuidado. Em geral, soluções contínuas não podem atravessar esses valores sem consideração especial. - Se for pedido, pode também isolar
explicitamente da expressão implícita, mas isso pode ser algébrica e nem sempre necessário na prova; a forma implícita é suficiente para muitas questões.
Resposta
Separável.