Seja
. Mostre que existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para mostrar que existe
tal que
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função
é um polinômio de grau 3 (coeficientes reais). - O intervalo de interesse é
. - A pergunta é sobre existência de uma raiz real de
dentro de .
Passo 2
Primeiro, vou reescrever
de uma forma que facilite a análise no intervalo
. Faço a substituição
, isto é,
. Vou expressar
em função de
.
Substituindo
em
:
Vou desenvolver passo a passo:
Somando tudo:
Cancelam-se termos:
,
, e
. Portanto
Voltando para
(lembrando
), temos a forma útil
Outra forma equivalente, que usarei para razão de sinais, é escrever
Definindo
com
, então
.
Passo 3
Agora vou estudar o comportamento de
quando
. Como
, o intervalo
corresponde a
. Então preciso conhecer o máximo de
em
.
Estudo de
:
As derivadas nulas ocorrem quando
, isto é
Esses dois pontos estão no intervalo
. Para identificar máximo e mínimo:
logo em
tem-se
(logo máximo local) e em
tem-se
(logo mínimo local). Portanto o máximo de
em
ocorre em
.
Passo 4
Calculo o valor máximo de
em
. Substituindo:
Colocando em denominação comum:
Assim o máximo de
em
é
.
Passo 5
Comparo esse máximo com
, porque
. Se
para todo
, então
em todo o intervalo, o que impediria raízes em
.
Mostro que
. Como ambos os lados são positivos, é equivalente verificar
Elevando ao quadrado (manter orden):
, que é verdadeiro. Logo
.
Portanto, para todo
(isto é, para todo
),
Subtraindo 1 dos dois lados,
Passo 6
Concluo a partir do passo anterior que
para todo
. Em particular, não existe
tal que
, porque
assume somente valores negativos naquele intervalo.
Portanto a afirmação "existe
tal que
" é falsa; a análise mostra exatamente o contrário.
Resposta
Não existe
tal que
; de fato,
para todo
.