Seja f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x-1. Mostre que existe c \in(0,2) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x-1
e pede para mostrar que existe c\in(0,2) tal que f\text{(c)}=0.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função f é um polinômio de grau 3 (coeficientes reais).
  • O intervalo de interesse é (0,2).
  • A pergunta é sobre existência de uma raiz real de f dentro de (0,2).

Passo 2

Primeiro, vou reescrever f(x) de uma forma que facilite a análise no intervalo [0,2]. Faço a substituição t=x-1, isto é, x=t+1. Vou expressar f em função de t.
Substituindo x=t+1 em f:
f(t+1)=(t+1)^{3}-3(t+1)^{2}+2(t+1)-1.
Vou desenvolver passo a passo:
(t+1)^{3}=t^{3}+3t^{2}+3t+1,
-3(t+1)^{2}=-3(t^{2}+2t+1)=-3t^{2}-6t-3,
2(t+1)=2t+2.
Somando tudo:
f(t+1)=\bigl(t^{3}+3t^{2}+3t+1\bigr)+\bigl(-3t^{2}-6t-3\bigr)+\bigl(2t+2\bigr)-1.
Cancelam-se termos: 3t^{2}-3t^{2}=0, 3t-6t+2t=-t, e 1-3+2-1=-1. Portanto
f(t+1)=t^{3}-t-1.
Voltando para x (lembrando t=x-1), temos a forma útil
f(x)=(x-1)^{3}-(x-1)-1.
Outra forma equivalente, que usarei para razão de sinais, é escrever
f(x)=\bigl((x-1)^{3}-(x-1)\bigr)-1.
Definindo h(t)=t^{3}-t com t=x-1, então f(x)=h(x-1)-1.

Passo 3

Agora vou estudar o comportamento de h(t)=t^{3}-t quando x\in[0,2]. Como t=x-1, o intervalo x\in[0,2] corresponde a t\in[-1,1]. Então preciso conhecer o máximo de h em [-1,1].
Estudo de h:
h'(t)=3t^{2}-1.
As derivadas nulas ocorrem quando 3t^{2}-1=0, isto é
t^{2}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad t=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Esses dois pontos estão no intervalo [-1,1]. Para identificar máximo e mínimo:
h''(t)=6t,
logo em t=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} tem-se h''<0 (logo máximo local) e em t=+\dfrac{1}{\sqrt{3}} tem-se h''>0 (logo mínimo local). Portanto o máximo de h em [-1,1] ocorre em t=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Calculo o valor máximo de h em t=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Substituindo:
h\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}.
Colocando em denominação comum:
-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-1+3}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}.
Assim o máximo de h em [-1,1] é \dfrac{2}{3\sqrt{3}}.

Passo 5

Comparo esse máximo com 1, porque f(x)=h(x-1)-1. Se h(x-1)\le M<1 para todo x\in[0,2], então f(x)=h(x-1)-1\le M-1<0 em todo o intervalo, o que impediria raízes em [0,2].
Mostro que \dfrac{2}{3\sqrt{3}}<1. Como ambos os lados são positivos, é equivalente verificar
2<3\sqrt{3}.
Elevando ao quadrado (manter orden): 4<27, que é verdadeiro. Logo \dfrac{2}{3\sqrt{3}}<1.
Portanto, para todo x\in[0,2] (isto é, para todo t\in[-1,1]),
h(t)\le \frac{2}{3\sqrt{3}}<1.
Subtraindo 1 dos dois lados,
f(x)=h(x-1)-1\le \frac{2}{3\sqrt{3}}-1<0.

Passo 6

Concluo a partir do passo anterior que f(x)<0 para todo x\in[0,2]. Em particular, não existe c\in(0,2) tal que f\text{(c)}=0, porque f assume somente valores negativos naquele intervalo.
Portanto a afirmação "existe c\in(0,2) tal que f\text{(c)}=0" é falsa; a análise mostra exatamente o contrário.

Resposta

Não existe c\in(0,2) tal que f\text{(c)}=0; de fato, f(x)<0 para todo x\in[0,2].

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