Prove que a equação \sqrt{x}+\ln x=2 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 1, e^{2} ).

Passo 1

O enunciado pede provar que existe pelo menos uma solução da equação
\sqrt{x}+\ln x=2
no intervalo aberto (1,e^{2}).
Informações dadas:
  • A incógnita x deve estar no intervalo (1,e^{2}).
  • As funções presentes são \sqrt{x} e \ln x, cujo domínio comum é x>0.
  • Objetivo: mostrar que existe c\in(1,e^{2}) tal que \sqrt{c}+\ln c=2.

Passo 2

Defino a função auxiliar
f(x)=\sqrt{x}+\ln x.
Vou mostrar que f é contínua em [1,e^{2}]. Lembrete rápido sobre continuidade (passo didático): dizer que uma função g é contínua num ponto a significa que os valores g(x) se aproximam de g(a) quando x se aproxima de a. Propriedades fáceis que uso aqui:
  • A função x\mapsto \sqrt{x} é contínua para x\ge 0.
  • A função x\mapsto \ln x é contínua para x>0.
  • A soma de duas funções contínuas é contínua no ponto onde ambas são contínuas.
Como o intervalo [1,e^{2}] está dentro do domínio comum (0,\infty), ambas as funções são contínuas em todo [1,e^{2}] e, portanto, f é contínua em [1,e^{2}].

Passo 3

Calculo os valores de f nas extremidades do intervalo (isso é permitido porque a função é contínua até os extremos):
f(1)=\sqrt{1}+\ln 1=1+0=1.
f(e^{2})=\sqrt{e^{2}}+\ln(e^{2})=e+2.
Observações numéricas e comparação com 2:
  • Tem-se f(1)=1<2.
  • Tem-se f(e^{2})=e+2>2 porque e>0 (mais concretamente e\approx2{,}718, então e+2\approx4{,}718>2).
Assim, f(1)-2<0 e f(e^{2})-2>0: os valores de f nas extremidades “abraçam” o nível 2.

Passo 4

Agora aplico o Teorema do Valor Intermediário (explicação didática): se uma função é contínua num intervalo fechado [a,b] e toma valores f(a) e f(b), então para qualquer valor L entre f(a) e f(b) existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=L. Aqui f é contínua em [1,e^{2}], e o número 2 está entre f(1)=1 e f(e^{2})=e+2. Portanto existe c\in(1,e^{2}) tal que
f\text{(c)}=2,
isto é,
\sqrt{c}+\ln c=2.

Passo 5

Comentário adicional (útil para a prova): pode-se ainda mostrar que a solução é única. Calculo a derivada de f:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x}.
Para x>0 ambas parcelas são positivas, logo f'(x)>0 em (0,\infty). Assim f é estritamente crescente em (0,\infty) e, consequentemente, não pode ter duas soluções distintas para f(x)=2. Portanto a solução dentro de (1,e^{2}) é, na verdade, única.

Resposta

\exists\, c\in(1,e^{2}) tal que \sqrt{c}+\ln c=2.

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