Prove que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo (
).
Passo 1
O enunciado pede provar que existe pelo menos uma solução da equação
no intervalo aberto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A incógnita
deve estar no intervalo . - As funções presentes são
e , cujo domínio comum é . - Objetivo: mostrar que existe
tal que .
Passo 2
Defino a função auxiliar
Vou mostrar que
é contínua em
. Lembrete rápido sobre continuidade (passo didático): dizer que uma função
é contínua num ponto
significa que os valores
se aproximam de
quando
se aproxima de
. Propriedades fáceis que uso aqui:
- A função
é contínua para . - A função
é contínua para . - A soma de duas funções contínuas é contínua no ponto onde ambas são contínuas.
Como o intervalo
está dentro do domínio comum
, ambas as funções são contínuas em todo
e, portanto,
é contínua em
.
Passo 3
Calculo os valores de
nas extremidades do intervalo (isso é permitido porque a função é contínua até os extremos):
Observações numéricas e comparação com
:
- Tem-se
. - Tem-se
porque (mais concretamente , então ).
Assim,
e
: os valores de
nas extremidades “abraçam” o nível
.
Passo 4
Agora aplico o Teorema do Valor Intermediário (explicação didática): se uma função é contínua num intervalo fechado
e toma valores
e
, então para qualquer valor
entre
e
existe pelo menos um ponto
tal que
. Aqui
é contínua em
, e o número
está entre
e
. Portanto existe
tal que
isto é,
Passo 5
Comentário adicional (útil para a prova): pode-se ainda mostrar que a solução é única. Calculo a derivada de
:
Para
ambas parcelas são positivas, logo
em
. Assim
é estritamente crescente em
e, consequentemente, não pode ter duas soluções distintas para
. Portanto a solução dentro de
é, na verdade, única.