Para cada um dos itens a seguir:
(Distribuição Exponencial) O tempo até o primeiro defeito em uma máquina segue uma distribuição exponencial com média de 15 dias. Qual a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer após 20 dias?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo até o primeiro defeito em uma máquina é uma variável aleatória T com distribuição exponencial de média 15 dias. Precisamos calcular a probabilidade de não haver defeito até o dia 20, isto é,
P(T > 20)
Conteúdo: propriedades da distribuição exponencial e sua função sobrevivência.

Passo 2

Para a distribuição exponencial, a média mu está relacionada ao parâmetro de taxa lambda por
mu = 1lambda
Como mu = 15, temos
lambda = 115;(dias^-1)

Passo 3

A função sobrevivência da exponencial é
P(T > t) = e^-lambda t
Portanto, para t = 20 dias,
P(T > 20) = e^-lambda cdot 20

Passo 4

Substituindo lambda = tfrac115 em P(T>20), obtemos
P(T>20) = e^-tfrac115cdot 20 = e^-tfrac2015 = e^-tfrac43

Passo 5

Podemos dar uma aproximação numérica usando e^-4/3:
e^-tfrac43approx 0,2636

Resposta

P(T > 20) = e^-tfrac43approx 0,2636

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