Para cada um dos itens a seguir:
(Distribuição Hipergeométrica) Em uma caixa há 12 lâmpadas boas e 3 defeituosas. Retirandose 4 lâmpadas sem reposição, qual a probabilidade de escolher exatamente 2 defeituosas?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma caixa com 12 lâmpadas boas e 3 defeituosas, e que retiramos 4 lâmpadas sem reposição. Queremos a probabilidade de obter exatamente 2 lâmpadas defeituosas. Isso é um caso clássico de distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, a probabilidade de tirar exatamente k “sucessos” (aqui, lâmpadas defeituosas) em n retiradas de uma população de tamanho N que contém K sucessos é dada por
P(X=k);=;binomKk,binomN-K,n-k,binomNn
No nosso problema temos N=15, K=3, n=4 e k=2.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula,
P(X=2);=;binom32,binom15-34-2binom154 ;=;binom32,binom122binom154

Passo 4

Agora calculamos cada coeficiente binomial:
binom32=3, binom122=12cdot112=66, binom154=15cdot14cdot13cdot124cdot3cdot2cdot1=1365
Então
P(X=2)=3cdot661365=1981365
Dividindo numerador e denominador por 3 obtemos a fração irredutível
66455approx0,1451

Resposta

P(exatamente 2 defeituosas)=66455approx0,1451.

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