Em cada um dos itens a seguir, faça o cálculo indicado:
se A=(1,2,0), B=(0,3,1) e C=(1,1,2), calcule
i. A \times B;
ii. \|A \times B\|;
iii. -2 A \times 3 B;
iv. (A \times C)+(C \times A);
v. (B \times C) \times(C \times B);
vi. (A \times B) \cdot B;
vii. (A \times B) \cdot C;

Passo 1

O enunciado pede várias operações vetoriais envolvendo os vetores
A=(1,2,0),\quad B=(0,3,1),\quad C=(1,1,2).
O conteúdo envolve produto vetorial, norma de vetor, propriedades de bilinearidade e anticomutatividade do produto vetorial, produto escalar e produto vetorial aninhado. Para resolver vamos usar:
– Regra do determinante 3\times3 para A\times B.
– Propriedade \alpha A\times \beta B = \alpha\beta\,(A\times B).
– Anticomutatividade C\times A = -\,A\times C.
– Produto escalar (X) \cdot Y.

Passo 2

Para calcular \,A\times B, aplicamos o determinante
A\times B =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&2&0\\\\ 0&3&1 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(2\cdot1-0\cdot3) -\mathbf{j}(1\cdot1-0\cdot0) +\mathbf{k}(1\cdot3-2\cdot0) =(2,-1,3).

Passo 3

A norma de A\times B=(2,-1,3) é
\|A\times B\| =\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+3^{2}} =\sqrt{4+1+9} =\sqrt{14}.

Passo 4

Para -2\,A\times3\,B usamos
\alpha A\times \beta B =\alpha\beta\,(A\times B),
logo
-2\,A\times3\,B =(-2\cdot3)\,(A\times B) =-6\,(2,-1,3) =(-12,6,-18).

Passo 5

Para (A\times C)+(C\times A) aplicamos anticomutatividade:
C\times A=-\,(A\times C).
Primeiro
A\times C =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&2&0\\\\ 1&1&2 \end{vmatrix} =(4,-2,-1),
de onde
C\times A=-(4,-2,-1)=(-4,2,1).
Somando,
(A\times C)+(C\times A)=(4,-2,-1)+(-4,2,1)=(0,0,0).

Passo 6

Para (B\times C)\times(C\times B) note que
C\times B=-\,(B\times C).
Isso faz com que os dois vetores sejam paralelos e opostos, logo o produto vetorial é o vetor nulo:
(B\times C)\times(C\times B)=\mathbf{0}.

Passo 7

Para (A\times B)\cdot B e (A\times B)\cdot C usamos o vetor A\times B=(2,-1,3):
(A\times B)\cdot B=(2,-1,3)\cdot(0,3,1) =2\cdot0+(-1)\cdot3+3\cdot1=0,
(A\times B)\cdot C=(2,-1,3)\cdot(1,1,2) =2\cdot1+(-1)\cdot1+3\cdot2=2-1+6=7.

Resposta

i. (2,-1,3)
ii. \sqrt{14}
iii. (-12,6,-18)
iv. (0,0,0)
v. (0,0,0)
vi. 0
vii. 7

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