Dados três vetores não nulos A, B e C, mostre que se A é ortogonal a B-C e B é ortogonal a C-A então C é ortogonal a A-B.

Passo 1

O enunciado diz que temos três vetores não nulos A, B e C. Sabemos que A é ortogonal a B - C e B é ortogonal a C - A. Queremos mostrar que isso implica que C é ortogonal a A - B. Vamos usar as propriedades do produto escalar: linearidade e simetria.

Passo 2

A condição “ A ortogonal a B - C” significa
A \cdot (B - C) = 0.
Pela linearidade do produto escalar isso se expande em
A \cdot B - A \cdot C = 0 \quad\Longrightarrow\quad A \cdot B = A \cdot C.

Passo 3

De modo análogo, “ B ortogonal a C - A” significa
B \cdot (C - A) = 0
que, pela linearidade, dá
B \cdot C - B \cdot A = 0 \quad\Longrightarrow\quad B \cdot C = B \cdot A.

Passo 4

Usando a simetria do produto escalar X\cdot Y = Y\cdot X, concluímos
A\cdot B = A\cdot C \quad\text{e}\quad A\cdot B = B\cdot A = B\cdot C.
Logo todos os produtos A\cdot B, A\cdot C e B\cdot C coincidem num mesmo valor.

Passo 5

Para verificar a ortogonalidade de C com A - B, calculamos
C\cdot (A - B) = C\cdot A - C\cdot B = A\cdot C - B\cdot C = k - k = 0,
onde k é o valor comum de A\cdot B, A\cdot C e B\cdot C.

Resposta

Como C\cdot(A - B)=0, temos que C é ortogonal a A - B.

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