Dados três vetores não nulos
e
, mostre que se
é ortogonal a
e
é ortogonal a
então
é ortogonal a
.
Passo 1
O enunciado diz que temos três vetores não nulos
,
e
. Sabemos que
é ortogonal a
e
é ortogonal a
. Queremos mostrar que isso implica que
é ortogonal a
. Vamos usar as propriedades do produto escalar: linearidade e simetria.
Passo 2
A condição “
ortogonal a
” significa
Pela linearidade do produto escalar isso se expande em
Passo 3
De modo análogo, “
ortogonal a
” significa
que, pela linearidade, dá
Passo 4
Usando a simetria do produto escalar
, concluímos
Logo todos os produtos
,
e
coincidem num mesmo valor.
Passo 5
Para verificar a ortogonalidade de
com
, calculamos
onde
é o valor comum de
,
e
.
Resposta
Como
, temos que
é ortogonal a
.