]
- Calcule o volume do sólido
limitado por
e pelo plano
.
- Calcule o volume do sólido
limitado acima pelo hemisfério
e lateralmente pelo cilindro
.)
Passo 1
Problema 32: o enunciado dá a superfície
e o plano
. Pede-se o volume do sólido
limitado por essas superfícies. Informações relevantes: interseção entre as superfícies, função que descreve a altura do sólido como função de
, e a região de projeção no plano
.
Problema 33: o enunciado dá o hemisfério superior
, o plano
(plano
) e uma restrição lateral pelo cilindro
. Pede-se o volume do sólido
limitado acima pelo hemisfério, abaixo pelo plano
e lateralmente pelo cilindro. Informações relevantes: raio da esfera
, raio do cilindro
, que a região de projeção no plano
será
.
Passo 2
Conceito básico e fórmula que vamos usar (aplicável a ambos os problemas): o volume de um sólido cuja parte superior é dada por
e cuja parte inferior é
sobre uma região
no plano
é
Explicação didática: aqui
é um elemento de área no plano
. Em coordenadas polares,
é substituído por
. O motivo: o elemento de área em polares tem tamanho proporcional à distância radial
e à pequena variação angular
; por isso o jacobiano é
. Sempre que a região
for um disco ou anel (ou circular, como ocorre aqui), coordenadas polares tornam a integral bem mais simples.
Passo 3
Resolvendo o Problema 32 — identificar a região
e a função integranda.
A interseção entre e
ocorre quando
A interseção entre
Logo a projeção
no plano
é o disco unitário
. A altura do sólido em cada ponto
é
Em coordenadas polares substituímos
e
. Assim a integral do volume fica
Comentário didático: escrevi
de
a
porque o disco inteiro é simétrico e é percorrido uma vez quando
vai dessa forma;
vai de
ao raio do disco, que é
.
Passo 4
Calcular a integral para o Problema 32 passo a passo.
Primeiro simplifico a integranda:
Primeiro simplifico a integranda:
Integro em
:
Agora integro em
:
Interpretação rápida: o volume é finito e simétrico; o uso de polares simplificou muito.
Passo 5
Resolvendo o Problema 33 — descrição da região e escolha de coordenadas.
O hemisfério superior é (esfera de raio
centrada na origem, só a parte com
). O plano inferior é
. A restrição lateral imposta pelo cilindro
limita a região àquelas
com
, ou seja, disco de raio
. Embora a esfera se estenda até
, o cilindro com raio
“corta” a região, então a projeção
no plano
é o disco
,
.
O hemisfério superior é
A altura do sólido em cada ponto é simplesmente
. Em polares:
Passo 6
Cálculo da integral interior para o Problema 33 usando substituição.
Queremos calcular
Queremos calcular
Faço a substituição
. Então
, ou seja
. Os limites em
: quando
temos
; quando
temos
. A integral fica
Inverto os limites para retirar o sinal:
Agora integro
:
Calculo os termos:
e
. Assim a integral em
é
Passo 7
Concluir a integral em
para o Problema 33 e obter o volume.
Agora integro em :
Agora integro em
Interpretação rápida: é o volume da “cúpula” da esfera de raio
recortada verticalmente por um cilindro de raio
; por isso o volume é menor do que o volume do hemisfério inteiro, mas maior do que zero.
Passo 8
Resumo final e incentivo.
- Usei a ideia fundamental de representar o volume como integral dupla da altura sobre a projeção no plano
. - Sempre que a projeção é circular, coordenadas polares simplificam muito porque
e . - Se ficar nervoso na prova, identifique primeiro a projeção
, escreva , escolha coordenadas (polares se houver simetria circular) e depois compute as integrais internas com calma (substituições simples costumam resolver integrais do tipo ).