onde B=\{0 \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq 3\}.
26. Calcule { }_{E} z d V, onde E é o tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} z\,dV,
onde E é o tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=1.
Informações relevantes dadas:
A região E está no primeiro octante (porque x,y,z\ge 0).
A face inclinada é o plano \;x+y+z=1\;.
Precisamos integrar a função z sobre todo o volume E.
Passo 2
Vamos descrever geometricamente a região para montar a integral iterada. Se projetarmos E no plano xy (isto é, fixando z), obtemos o triângulo
T=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1\},
porque a interseção do plano x+y+z=1 com z=0 é x+y=1. Para um par (x,y) em T, z varia de 0 até o valor dado pelo plano:
0\le z \le 1-x-y.
Portanto podemos escrever a integral como uma integral iterada na ordem dz\,dy\,dx:
Explicando a ideia: primeiro, para cada ponto (x,y) no triângulo T integramos em z ao longo do segmento vertical desde z=0 até a superfície z=1-x-y. Depois integramos sobre todo o triângulo T.
Passo 3
Calcule a integral interna em z:
\int_{z=0}^{1-x-y} z\,dz.
A primitiva de z em relação a z é \tfrac{1}{2}z^{2}. Avaliando nos limites,
Comentário didático rápido (jeito geométrico, útil na prova): o tetraedro E tem volume \tfrac{1}{6} (fórmula do simplex com interceptos 1 nos eixos). A integral \iiint_{E} z\,dV é o volume de E vezes a coordenada média em z do sólido. Como os quatro vértices são (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), o centroide tem coordenada z igual a \tfrac{1}{4}. Logo \iiint_{E} z\,dV=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{24}, consistente com o cálculo direto acima.