Para cada um dos itens a seguir, obtenha:
Passo 1
O enunciado pede para obter uma expressão equivalente para
.
Informações dadas: temos as variáveis (inteiros ou constantes quaisquer) e o ângulo
. O objetivo é reescrever o produto
em outra forma algébrica (tipicamente uma soma de cossenos).
Informações dadas: temos as variáveis
Passo 2
Vamos usar fórmulas de soma e diferença de cosseno. Para quaisquer ângulos
e
vale:
Explicando:
e
. Aqui
e
são as funções trigonométricas usuais;
e
são ângulos genéricos.
Passo 3
Escrevo explicitamente as duas fórmulas que vou combinar:
Agora subtraio a segunda da primeira (faço
):
Ao simplificar, os termos
cancelam e sobra:
Passo 4
Isolo
dividindo por
:
Comentário didático: essa é a identidade “produto para soma” que transforma produto de senos numa diferença de cossenos. É muito útil em integrais, somas trigonométricas e provas.
Passo 5
Agora faço a substituição específica pedida no enunciado: tome
e
. Aplicando a fórmula do Passo 4:
Passo 6
Para ganhar confiança, confira com um exemplo numérico simples: seja
,
,
.
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Coincidem — ótimo sinal de que a identidade está correta.