Para cada um dos itens a seguir, obtenha:
\sin (m \theta) \sin (n \theta)

Passo 1

O enunciado pede para obter uma expressão equivalente para \sin(m\theta)\sin(n\theta).
Informações dadas: temos as variáveis \;m,\;n\; (inteiros ou constantes quaisquer) e o ângulo \;\theta\;. O objetivo é reescrever o produto \sin(m\theta)\sin(n\theta) em outra forma algébrica (tipicamente uma soma de cossenos).

Passo 2

Vamos usar fórmulas de soma e diferença de cosseno. Para quaisquer ângulos \;A\; e \;B\; vale:
\cos(A\pm B)=\cos A\cos B \mp \sin A\sin B.
Explicando: \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B e \cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B. Aqui \cos e \sin são as funções trigonométricas usuais; A e B são ângulos genéricos.

Passo 3

Escrevo explicitamente as duas fórmulas que vou combinar:
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B,
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B.
Agora subtraio a segunda da primeira (faço \cos(A-B)-\cos(A+B)):
\cos(A-B)-\cos(A+B)=(\cos A\cos B+\sin A\sin B)-(\cos A\cos B-\sin A\sin B).
Ao simplificar, os termos \cos A\cos B cancelam e sobra:
\cos(A-B)-\cos(A+B)=2\sin A\sin B.

Passo 4

Isolo \sin A\sin B dividindo por 2:
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr].
Comentário didático: essa é a identidade “produto para soma” que transforma produto de senos numa diferença de cossenos. É muito útil em integrais, somas trigonométricas e provas.

Passo 5

Agora faço a substituição específica pedida no enunciado: tome A=m\theta e B=n\theta. Aplicando a fórmula do Passo 4:
\sin(m\theta)\sin(n\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos\bigl((m-n)\theta\bigr)-\cos\bigl((m+n)\theta\bigr)\bigr].

Passo 6

Para ganhar confiança, confira com um exemplo numérico simples: seja m=2, n=1, \theta=\pi/6.
Lado esquerdo:
\sin(2\theta)\sin(\theta)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}.
Lado direito:
\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\theta)-\cos(3\theta)\bigr]=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr] =\tfrac{1}{2}\bigl[\tfrac{\sqrt{3}}{2}-0\bigr]=\tfrac{\sqrt{3}}{4}.
Coincidem — ótimo sinal de que a identidade está correta.

Resposta

\displaystyle \sin(m\theta)\sin(n\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos\bigl((m-n)\theta\bigr)-\cos\bigl((m+n)\theta\bigr)\bigr]

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