Para cada um dos itens a seguir, obtenha:
\sin ^{2}(\theta)

Passo 1

O enunciado pede: obtenha \sin^{2}(\theta) para cada item.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma (não foram enviados valores, outras funções trigonométricas, nem um triângulo).
Conclusão imediata: não há dados numéricos/condições específicas para calcular um valor numérico de \sin^{2}(\theta). Vou, então, mostrar passo a passo as formas gerais e as fórmulas que você pode usar no exame dependendo do que derem no item — assim você consegue aplicar rápido na prova.

Passo 2

Identidade pitagórica básica — explicação e uso.
A identidade pitagórica é
\sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1.
O que isso significa: as funções \sin(\theta) e \cos(\theta) estão relacionadas; se você souber \cos(\theta) (ou \cos^{2}(\theta)), pode obter \sin^{2}(\theta). Resolvendo para \sin^{2}(\theta) temos:
\sin^{2}(\theta)=1-\cos^{2}(\theta).
Como usar na prova: se o item diz, por exemplo, \cos(\theta)=\tfrac{3}{5}, você calcula \cos^{2}(\theta)=\tfrac{9}{25} e então \sin^{2}(\theta)=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}.

Passo 3

Fórmula do ângulo duplo — derivação e interpretação.
Uma identidade útil é a fórmula do cosseno de dobro ângulo:
\cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta).
Usando a identidade pitagórica para substituir \cos^{2}(\theta)=1-\sin^{2}(\theta) obtemos
\cos(2\theta)=(1-\sin^{2}(\theta))-\sin^{2}(\theta)=1-2\sin^{2}(\theta).
Isolando \sin^{2}(\theta),
\sin^{2}(\theta)=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Como usar: quando o item fornece \cos(2\theta) ou pede simplificar expressões com \sin^{2}, essa forma é a mais prática.

Passo 4

Expressão em função de \tan(\theta) — derivação e uso.
Se souberem \tan(\theta), lembre que \tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}. Então
\tan^{2}(\theta)=\frac{\sin^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}.
Usando a identidade pitagórica escrita como \cos^{2}(\theta)=\dfrac{1}{1+\tan^{2}(\theta)} (derivação rápida: \,1=\sin^{2}+\cos^{2}=\tan^{2}\cos^{2}+\cos^{2}=(1+\tan^{2})\cos^{2}\,), substituímos para obter
\sin^{2}(\theta)=\tan^{2}(\theta)\cos^{2}(\theta)=\frac{\tan^{2}(\theta)}{1+\tan^{2}(\theta)}.
Como usar: se der \tan(\theta)=2, então \sin^{2}(\theta)=\dfrac{4}{1+4}=\dfrac{4}{5}.

Passo 5

Outras formas úteis (secante, cosecante, triângulo retângulo).
  • Se o item fornece \operatorname{sec}(\theta) (onde \operatorname{sec}(\theta)=1/\cos(\theta)), então
\cos^{2}(\theta)=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}(\theta)}\quad\Rightarrow\quad \sin^{2}(\theta)=1-\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}(\theta)}.
  • Se o enunciado der um triângulo retângulo com cateto oposto a, hipotenusa c, então
\sin(\theta)=\frac{a}{c}\quad\Rightarrow\quad \sin^{2}(\theta)=\frac{a^{2}}{c^{2}}.
Essas formas são diretas e rápidas em problemas geométricos.

Passo 6

Exemplos curtos para fixar (faça parecido na prova).
Exemplo 1: se deram \cos(\theta)=\tfrac{3}{5} então, usando Passo 2,
\sin^{2}(\theta)=1-\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}.
Exemplo 2: se deram \tan(\theta)=2 então, usando Passo 4,
\sin^{2}(\theta)=\frac{2^{2}}{1+2^{2}}=\frac{4}{5}.
Exemplo 3: se deram \cos(2\theta)=\tfrac{1}{3} então, usando Passo 3,
\sin^{2}(\theta)=\frac{1-\tfrac{1}{3}}{2}=\frac{\tfrac{2}{3}}{2}=\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Resumo prático para a prova — escolha rápida conforme o que te derem.
  • Se te derem \cos(\theta): use \sin^{2}(\theta)=1-\cos^{2}(\theta).
  • Se te derem \cos(2\theta): use \sin^{2}(\theta)=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}.
  • Se te derem \tan(\theta): use \sin^{2}(\theta)=\dfrac{\tan^{2}(\theta)}{1+\tan^{2}(\theta)}.
  • Se te derem lados de triângulo: \sin^{2}(\theta)=\dfrac{(\text{cateto oposto})^{2}}{(\text{hipotenusa})^{2}}.
    Guarde essas quatro receitas — praticando alguns exemplos você faz isso automaticamente na prova.

Resposta

\sin^{2}(\theta)=1-\cos^{2}(\theta)
\sin^{2}(\theta)=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}
\sin^{2}(\theta)=\dfrac{\tan^{2}(\theta)}{1+\tan^{2}(\theta)}
\sin^{2}(\theta)=\dfrac{(\text{cateto oposto})^{2}}{(\text{hipotenusa})^{2}}

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