A posição no instante
de uma corda infinita é dada pela função
.
(a) (3P.) Escreva o problema de valor inicial satisfeito pela função
acima, ou seja, a equação da onda (com o valor preciso da constante
neste caso) e as condições iniciais que
satisfaz.
(b) (2 P.) Determine a posição desta corda em cada instante, assumindo agora que a posição inicial é a mesma que você determinou em (a) e que a velocidade inicial é constante e igual a 1 em todos os pontos.
(a) (3P.) Escreva o problema de valor inicial satisfeito pela função
(b) (2 P.) Determine a posição desta corda em cada instante, assumindo agora que a posição inicial é a mesma que você determinou em (a) e que a velocidade inicial é constante e igual a 1 em todos os pontos.
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma corda infinita no instante
pela função
e pede duas coisas:
- (a) Escrever o problema de valor inicial satisfeito por
: qual é a equação da onda (com o valor de ) e quais condições iniciais satisfaz. - (b) Supondo agora que a posição inicial seja a mesma do item (a) e que a velocidade inicial seja constante igual a
em todos os pontos, determinar a posição em cada instante.
Informações relevantes dadas:
- A função explícita:
. - A corda é infinita (domínio em
é toda a reta). - No item (b) a condição de velocidade inicial é
para todo .
Passo 2
Vamos extrair as derivadas temporais e espaciais de
. Isso é só cálculo elementar de derivadas parciais:
Aqui expliquei cada passo: derivada de
em relação a
é zero porque
é tratado como constante ao derivar em
; derivada de
em relação a
é
. De forma análoga no caso das derivadas espaciais.
Passo 3
Usamos a equação da onda clássica unidimensional escrita como
onde
é a velocidade de propagação da onda e
é a constante que aparece na equação. Para que a função dada seja solução dessa equação, devemos ter igualdade entre
e
. Usando os resultados do Passo 2:
Dividindo por
obtemos
. Assim a constante é exatamente
.
Passo 4
Agora escrevemos as condições iniciais associadas à função dada. As condições iniciais padrão são o deslocamento inicial
e a velocidade inicial
. Avaliando em
:
Portanto, para a função
temos deslocamento inicial
e velocidade inicial zero.
Passo 5
Concluímos o item (a): a função dada satisfaz a equação da onda com
e tem as condições iniciais
e
. Vou escrever isso de forma direta (isto será repetido na resposta final conforme pedido):
Passo 6
Para o item (b) precisamos resolver o problema com a mesma posição inicial
e com velocidade inicial agora constante igual a
, ou seja
. O método mais direto e padrão para a corda infinita é a fórmula de d’Alembert. Vou explicar o que ela diz e por que podemos usá‑la.
A fórmula de d’Alembert (para
e domínio
) fornece a solução da equação
com condições iniciais
e
. A fórmula é
Interpretação breve e intuitiva: a solução é a média das formas iniciais deslocadas para a direita e para a esquerda (primeiro termo) mais um termo que incorpora o efeito da velocidade inicial (a integral). Para
aparece fator
no argumento e no denominador da integral, mas aqui
.
Passo 7
Identificamos
e
(pois agora a velocidade inicial é constante
). Vamos aplicar a fórmula de d’Alembert com esses
e
.
Primeiro calculemos o termo médio:
Expandindo e simplificando:
Dividindo por
obtemos
Passo 8
Agora calculemos o termo da integral:
Como
a integral é simplesmente o comprimento do intervalo
, que é
. Assim
Passo 9
Somando os dois termos da fórmula de d’Alembert obtemos a solução buscada:
Vou verificar rapidamente que essa função satisfaz as condições e a equação: derivando em
obtemos
e
(ok); avaliando em
dá
(ok); derivando duas vezes em
dá
e duas vezes em
dá
, logo
(ok).
Resposta
(a)
(b)
(b)