A posição no instante t de uma corda infinita é dada pela função u(x, t)=x^{2}+t^{2}.
(a) (3P.) Escreva o problema de valor inicial satisfeito pela função u acima, ou seja, a equação da onda (com o valor preciso da constante c^{2} neste caso) e as condições iniciais que u satisfaz.
(b) (2 P.) Determine a posição desta corda em cada instante, assumindo agora que a posição inicial é a mesma que você determinou em (a) e que a velocidade inicial é constante e igual a 1 em todos os pontos.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma corda infinita no instante t pela função u(x,t)=x^{2}+t^{2} e pede duas coisas:
  1. (a) Escrever o problema de valor inicial satisfeito por u: qual é a equação da onda (com o valor de c^{2}) e quais condições iniciais u satisfaz.
  2. (b) Supondo agora que a posição inicial seja a mesma do item (a) e que a velocidade inicial seja constante igual a 1 em todos os pontos, determinar a posição u(x,t) em cada instante.
Informações relevantes dadas:
  • A função explícita: u(x,t)=x^{2}+t^{2}.
  • A corda é infinita (domínio em x é toda a reta).
  • No item (b) a condição de velocidade inicial é 1 para todo x.

Passo 2

Vamos extrair as derivadas temporais e espaciais de u(x,t)=x^{2}+t^{2}. Isso é só cálculo elementar de derivadas parciais:
u_{t}(x,t)=\frac{\partial}{\partial t}(x^{2}+t^{2})=2t,
u_{tt}(x,t)=\frac{\partial}{\partial t}(2t)=2,
u_{x}(x,t)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+t^{2})=2x,
u_{xx}(x,t)=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2.
Aqui expliquei cada passo: derivada de x^{2} em relação a t é zero porque x é tratado como constante ao derivar em t; derivada de t^{2} em relação a t é 2t. De forma análoga no caso das derivadas espaciais.

Passo 3

Usamos a equação da onda clássica unidimensional escrita como
u_{tt}=c^{2}u_{xx},
onde c>0 é a velocidade de propagação da onda e c^{2} é a constante que aparece na equação. Para que a função dada seja solução dessa equação, devemos ter igualdade entre u_{tt} e c^{2}u_{xx}. Usando os resultados do Passo 2:
2 = c^{2}\cdot 2.
Dividindo por 2 obtemos c^{2}=1. Assim a constante é exatamente 1.

Passo 4

Agora escrevemos as condições iniciais associadas à função dada. As condições iniciais padrão são o deslocamento inicial u(x,0) e a velocidade inicial u_{t}(x,0). Avaliando em t=0:
u(x,0)=x^{2}+0^{2}=x^{2},
u_{t}(x,0)=2\cdot 0=0.
Portanto, para a função u(x,t)=x^{2}+t^{2} temos deslocamento inicial x^{2} e velocidade inicial zero.

Passo 5

Concluímos o item (a): a função dada satisfaz a equação da onda com c^{2}=1 e tem as condições iniciais u(x,0)=x^{2} e u_{t}(x,0)=0. Vou escrever isso de forma direta (isto será repetido na resposta final conforme pedido):
u_{tt}=1\cdot u_{xx},\qquad u(x,0)=x^{2},\qquad u_{t}(x,0)=0.

Passo 6

Para o item (b) precisamos resolver o problema com a mesma posição inicial u(x,0)=x^{2} e com velocidade inicial agora constante igual a 1, ou seja u_{t}(x,0)=1. O método mais direto e padrão para a corda infinita é a fórmula de d’Alembert. Vou explicar o que ela diz e por que podemos usá‑la.
A fórmula de d’Alembert (para c=1 e domínio x\in\mathbb{R}) fornece a solução da equação
u_{tt}=u_{xx}
com condições iniciais u(x,0)=f(x) e u_{t}(x,0)=g(x). A fórmula é
u(x,t)=\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}+\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t} g(s)\,ds.
Interpretação breve e intuitiva: a solução é a média das formas iniciais deslocadas para a direita e para a esquerda (primeiro termo) mais um termo que incorpora o efeito da velocidade inicial (a integral). Para c\neq1 aparece fator c no argumento e no denominador da integral, mas aqui c=1.

Passo 7

Identificamos f(x)=u(x,0)=x^{2} e g(x)=u_{t}(x,0)=1 (pois agora a velocidade inicial é constante 1). Vamos aplicar a fórmula de d’Alembert com esses f e g.
Primeiro calculemos o termo médio:
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}=\frac{(x+t)^{2}+(x-t)^{2}}{2}.
Expandindo e simplificando:
(x+t)^{2}=x^{2}+2xt+t^{2},
(x-t)^{2}=x^{2}-2xt+t^{2},
(x+t)^{2}+(x-t)^{2}=2x^{2}+2t^{2}.
Dividindo por 2 obtemos
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}=x^{2}+t^{2}.

Passo 8

Agora calculemos o termo da integral:
\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t} g(s)\,ds=\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t} 1\,ds.
Como g(s)=1 a integral é simplesmente o comprimento do intervalo [x-t,x+t], que é (x+t)-(x-t)=2t. Assim
\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t} 1\,ds=\frac{1}{2}\cdot 2t=t.

Passo 9

Somando os dois termos da fórmula de d’Alembert obtemos a solução buscada:
u(x,t)=\bigl(x^{2}+t^{2}\bigr)+t = x^{2}+t^{2}+t.
Vou verificar rapidamente que essa função satisfaz as condições e a equação: derivando em t obtemos u_{t}=2t+1 e u_{t}(x,0)=1 (ok); avaliando em t=0 u(x,0)=x^{2} (ok); derivando duas vezes em t u_{tt}=2 e duas vezes em x u_{xx}=2, logo u_{tt}=u_{xx} (ok).

Resposta

(a) \displaystyle u_{tt}=1\cdot u_{xx},\qquad u(x,0)=x^{2},\qquad u_{t}(x,0)=0.
(b) \displaystyle u(x,t)=x^{2}+t^{2}+t.

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