Em cada um dos itens a seguir, use álgebra apropriada e encontre a transformada de Laplace inversa \mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}\} :
\(mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{(s-2)^{2}}{s^{3}}\right\})

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{(s-2)^{2}}{s^{3}}.
O conteúdo aqui é decompor F(s) em potências de s cujas inversas já conhecemos na tabela básica: \mathcal{L}^{-1}\{s^{-1}\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{s^{-2}\}=t e \mathcal{L}^{-1}\{s^{-3}\}=\tfrac{t^{2}}{2}.

Passo 2

Expandimos o numerador:
(s-2)^{2}=s^{2}-4s+4,
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\frac{(s-2)^{2}}{s^{3}} =\frac{s^{2}-4s+4}{s^{3}} =\frac{s^{2}}{s^{3}}-4\frac{s}{s^{3}}+4\frac{1}{s^{3}} =s^{-1}-4s^{-2}+4s^{-3}.

Passo 3

Aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{s^{-1}\}=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\{s^{-2}\}=t, \quad \mathcal{L}^{-1}\{s^{-3}\}=\frac{t^{2}}{2}.
Multiplicando pelos coeficientes,
f(t) =1-4\,t+4\cdot\frac{t^{2}}{2} =1-4t+2t^{2}.

Resposta

f(t)=1-4t+2t^{2}.

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