Cada limite a seguir representa a derivada de alguma função f \mathrm{em} algum ponto a. Indique f \mathrm{e} a em cada caso.
\lim _{\theta \rightarrow+4} \frac{\operatorname{sen} \theta-\frac{1}{2}}{\theta-\frac{\pi}{6}}

Passo 1

O enunciado dá o limite
\lim_{\theta\to\pi/6}\frac{\sin\theta-\tfrac{1}{2}}{\theta-\tfrac{\pi}{6}}
(eu reconheço que o numerador é \sin\theta-\tfrac{1}{2} e o denominador é \theta-\tfrac{\pi}{6}) e pede: identificar a função f e o ponto a tais que esse limite é a derivada f'(a).

Passo 2

Lembrete básico e muito importante (a “definição” usada nesta identificação):
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Aqui:
  • f é a função cuja derivada avaliamos;
  • a é o ponto onde a derivada é tomada;
  • f(a) é o valor da função em a.
    Para reconhecer f e a no limite dado, basta comparar a expressão do numerador com f(x)-f(a) e o denominador com x-a.

Passo 3

Comparando termo a termo:
  • O denominador é \theta-\tfrac{\pi}{6}, logo o ponto a sugerido é a=\tfrac{\pi}{6}.
  • O numerador é \sin\theta-\tfrac{1}{2}. Isso tem a forma f(\theta)-f(a). Assim faz sentido escolher f(\theta)=\sin\theta e f(a)=\tfrac{1}{2}.
  • Verificação rápida: \sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{2}, então a escolha é consistente.

Passo 4

Portanto a expressão dada é exatamente a forma diferencial \dfrac{f(\theta)-f(a)}{\theta-a} com f(\theta)=\sin\theta e a=\tfrac{\pi}{6}. Como comentário extra (para fixar): o valor desse limite, se fosse pedido, seria f'(a)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

f(\theta)=\sin\theta
a=\dfrac{\pi}{6}

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