Cada limite a seguir representa a derivada de alguma função
algum ponto
. Indique
em cada caso.
Passo 1
O enunciado dá o limite
(eu reconheço que o numerador é
e o denominador é
) e pede: identificar a função
e o ponto
tais que esse limite é a derivada
.
Passo 2
Lembrete básico e muito importante (a “definição” usada nesta identificação):
Aqui:
-
é a função cuja derivada avaliamos; -
é o ponto onde a derivada é tomada; -
é o valor da função em .
Para reconhecere no limite dado, basta comparar a expressão do numerador com e o denominador com .
Passo 3
Comparando termo a termo:
- O denominador é
, logo o ponto sugerido é . - O numerador é
. Isso tem a forma . Assim faz sentido escolher e . - Verificação rápida:
, então a escolha é consistente.
Passo 4
Portanto a expressão dada é exatamente a forma diferencial
com
e
. Como comentário extra (para fixar): o valor desse limite, se fosse pedido, seria
.