Cada limite a seguir representa a derivada de alguma função f \mathrm{em} algum ponto a. Indique f \mathrm{e} a em cada caso.
\lim _{x \rightarrow 1 / 4} \frac{\frac{1}{x}-4}{x-\frac{1}{4}}

Passo 1

O enunciado dá o limite
\lim_{x\to 1/4}\frac{\frac{1}{x}-4}{x-\frac{1}{4}}
e pede para identificar uma função f e um ponto a tais que esse limite seja exatamente a derivada de f em a, ou seja, seja igual a f'(a).
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão do numerador é \dfrac{1}{x}-4.
  • O ponto para o qual x tende é x=\dfrac{1}{4}.
  • A forma lembra a definição de derivada \displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada (explicando com calma): a derivada de uma função f em um ponto a é o limite quando x se aproxima de a da diferença quociente entre o valor de f em x e o valor de f em a, dividido pela diferença x-a. Em símbolos:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Aqui:
  • f(x) é o valor da função em um ponto variável x.
  • f(a) é o valor da função no ponto fixo a.
  • O numerador é exatamente a diferença f(x)-f(a) nesta definição.

Passo 3

Comparando a forma dada com a forma da definição, identificamos que o numerador dado deve corresponder a f(x)-f(a). Ou seja,
f(x)-f(a)=\frac{1}{x}-4.
Isso sugere que, para x próximos de a, a parte dependente de x da função é \dfrac{1}{x}. Uma escolha natural (a mais direta) é
f(x)=\frac{1}{x}.
Com essa escolha, temos f(a)=\dfrac{1}{a}. Como na expressão aparece f(a)=4 (porque o numerador é \dfrac{1}{x}-4), obtemos
\frac{1}{a}=4 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{4}.
Observação importante (didática): se se acrescentasse uma constante C à função, isto é, se escolhermos f(x)=\dfrac{1}{x}+C, então f(x)-f(a)=(\dfrac{1}{x}+C)-(\dfrac{1}{a}+C)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}. Para que o numerador fique \dfrac{1}{x}-4 precisamos de \dfrac{1}{a}=4 de novo; portanto funções do tipo f(x)=\dfrac{1}{x}+C (qualquer constante C) também produzem o mesmo numerador e, consequentemente, o mesmo quociente. Na prática, a derivada não muda ao somar uma constante, então a identificação de f pode ser feita até uma constante aditiva. A escolha canonical simples é f(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Para verificar (e também aprender como calcular a derivada na prova sem calculadora), vamos calcular a derivada de f(x)=\dfrac{1}{x} por regras básicas. Escrever \dfrac{1}{x}=x^{-1}. Aplicando a regra de potência:
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
com n=-1 obtemos
f'(x)=\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Agora avaliaremos em a=\dfrac{1}{4}:
f'\!\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}=-\frac{1}{\frac{1}{16}}=-16.
Isso confirma que o limite original existe e vale -16; e que ele é de fato a derivada de f em a.

Passo 5

Resumo final do raciocínio (sem repetir mecanicamente a resposta pedida): a estrutura do quociente corresponde à definição de derivada com f(x) tendo parte variável \dfrac{1}{x} e com f(a)=4, o que leva a a=\dfrac{1}{4}. A derivada da função escolhida é -1/x^{2} e, em a=\dfrac{1}{4}, vale -16. Além disso, qualquer f(x)=\dfrac{1}{x}+C (com constante C) também serve, porque constantes não alteram derivadas.

Resposta

f(x)=\dfrac{1}{x}
a=\dfrac{1}{4}

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