Cada limite a seguir representa a derivada de alguma função
algum ponto
. Indique
em cada caso.
Passo 1
O enunciado dá o limite
e pede para identificar uma função
e um ponto
tais que esse limite seja exatamente a derivada de
em
, ou seja, seja igual a
.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão do numerador é
. - O ponto para o qual
tende é . - A forma lembra a definição de derivada
.
Passo 2
Lembrando a definição de derivada (explicando com calma): a derivada de uma função
em um ponto
é o limite quando
se aproxima de
da diferença quociente entre o valor de
em
e o valor de
em
, dividido pela diferença
. Em símbolos:
Aqui:
-
é o valor da função em um ponto variável . -
é o valor da função no ponto fixo . - O numerador é exatamente a diferença
nesta definição.
Passo 3
Comparando a forma dada com a forma da definição, identificamos que o numerador dado deve corresponder a
. Ou seja,
Isso sugere que, para
próximos de
, a parte dependente de
da função é
. Uma escolha natural (a mais direta) é
Com essa escolha, temos
. Como na expressão aparece
(porque o numerador é
), obtemos
Observação importante (didática): se se acrescentasse uma constante
à função, isto é, se escolhermos
, então
. Para que o numerador fique
precisamos de
de novo; portanto funções do tipo
(qualquer constante
) também produzem o mesmo numerador e, consequentemente, o mesmo quociente. Na prática, a derivada não muda ao somar uma constante, então a identificação de
pode ser feita até uma constante aditiva. A escolha canonical simples é
.
Passo 4
Para verificar (e também aprender como calcular a derivada na prova sem calculadora), vamos calcular a derivada de
por regras básicas. Escrever
. Aplicando a regra de potência:
com
obtemos
Agora avaliaremos em
:
Isso confirma que o limite original existe e vale
; e que ele é de fato a derivada de
em
.
Passo 5
Resumo final do raciocínio (sem repetir mecanicamente a resposta pedida): a estrutura do quociente corresponde à definição de derivada com
tendo parte variável
e com
, o que leva a
. A derivada da função escolhida é
e, em
, vale
. Além disso, qualquer
(com constante
) também serve, porque constantes não alteram derivadas.