Cada limite a seguir representa a derivada de alguma função
algum ponto
. Indique
em cada caso.
Passo 1
O enunciado fornece o limite
e pede para indicar a função
e o ponto
tais que esse limite corresponda à derivada de
em
. Ou seja, identificar
e
a partir da expressão do quociente de diferença.
Passo 2
Lembrete da definição (essência do que estamos procurando). Para uma função
e um ponto
em que
é diferenciável, a derivada de
em
é dada por
Aqui cada pedaço tem um papel:
é o valor da função em um ponto deslocado
a partir de
;
é o valor no ponto base; dividir por
e tomar limite
dá a taxa de variação instantânea.
Passo 3
Comparando a forma da definição com o limite dado, identificar os termos correspondentes:
- No numerador do limite dado temos
.
Isso corresponde a. - Portanto podemos identificar
e .
Passo 4
A partir de
observe que a expressão depende de
apenas através do expoente, e a forma natural para
é
, porque então
Igualando
para todo
próximo de zero, conclui-se que
. Com isso:
-
, -
.
Passo 5
Verificação rápida (confirmação didática): com
e
temos
que é exatamente o quociente dado. Além disso, a derivada seria
portanto o limite realmente existe e vale
(isso é apenas confirmação adicional).