Cada limite a seguir representa a derivada de alguma função f \mathrm{em} algum ponto a. Indique f \mathrm{e} a em cada caso.
\lim _{h \rightarrow} \frac{e^{-2+h}-e^{-2}}{h}

Passo 1

O enunciado fornece o limite
\lim_{h\to 0}\frac{e^{-2+h}-e^{-2}}{h}
e pede para indicar a função f e o ponto a tais que esse limite corresponda à derivada de f em a. Ou seja, identificar f e a a partir da expressão do quociente de diferença.

Passo 2

Lembrete da definição (essência do que estamos procurando). Para uma função f e um ponto a em que f é diferenciável, a derivada de f em a é dada por
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui cada pedaço tem um papel: f(a+h) é o valor da função em um ponto deslocado h a partir de a; f(a) é o valor no ponto base; dividir por h e tomar limite h\to0 dá a taxa de variação instantânea.

Passo 3

Comparando a forma da definição com o limite dado, identificar os termos correspondentes:
  • No numerador do limite dado temos e^{-2+h}-e^{-2}.
    Isso corresponde a f(a+h)-f(a).
  • Portanto podemos identificar f(a+h)=e^{-2+h} e f(a)=e^{-2}.

Passo 4

A partir de f(a+h)=e^{-2+h} observe que a expressão depende de a+h apenas através do expoente, e a forma natural para f é f(x)=e^{x}, porque então
f(a+h)=e^{a+h}.
Igualando e^{a+h}=e^{-2+h} para todo h próximo de zero, conclui-se que a=-2. Com isso:
  • f(x)=e^{x},
  • a=-2.

Passo 5

Verificação rápida (confirmação didática): com f(x)=e^{x} e a=-2 temos
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{e^{-2+h}-e^{-2}}{h},
que é exatamente o quociente dado. Além disso, a derivada seria
f'(x)=e^{x}\quad\Rightarrow\quad f'(-2)=e^{-2},
portanto o limite realmente existe e vale e^{-2} (isso é apenas confirmação adicional).

Resposta

f(x)=e^{x}
a=-2

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