Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sua altura (em metros) após t segundos é dada por H=10 t-1,86 t^{2}.
(a) Encontre a velocidade da pedra apos um segundo.
(b) Encontre a velocidade da pedra quando t=a.
(c) Quando a pedra atinge a superficie?
(d) Com que velocidade a pedra atinge a superficie?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado (peguei todos estes valores do enunciado):
    • A altura H em metros, em função do tempo t em segundos, é
    H(t)=10t-1,86t^{2}.
    • A velocidade que nos pedem é a velocidade instantânea da pedra (em \text{m/s}) nos instantes solicitados.
  • O enunciado pede quatro coisas:
    (a) a velocidade da pedra após 1 segundo;
    (b) a velocidade da pedra quando t=a (ou seja, expressão em função de a);
    (c) quando a pedra atinge a superfície (ou seja, o(s) instante(s) t em que H=0);
    (d) com que velocidade a pedra atinge a superfície (velocidade no instante de impacto).

Passo 2

Conceito importante e fórmulas que vamos usar (aula curtinha): velocidade instantânea como derivada da posição.
  • Em física básica, a velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da altura H(t) em relação ao tempo. Matematicamente isso é a derivada:
v(t)=\frac{dH}{dt}.
  • Definição via quociente de diferença (primeiros princípios): para entender de onde vem a derivada, considere
v(t)=\lim_{h\to 0}\frac{H(t+h)-H(t)}{h}.
Essa fórmula diz: pego o aumento médio de altura em um intervalo pequeno h e faço h tender a zero para obter a taxa instantânea.

Passo 3

Calcular a derivada v(t)=\dfrac{dH}{dt} usando a definição (vou desenvolver passo a passo para ficar bem claro).
  • Primeiro calcule H(t+h):
H(t+h)=10(t+h)-1,86(t+h)^{2}.
  • Expandindo (t+h)^{2}=t^{2}+2th+h^{2}, obtemos
H(t+h)=10t+10h-1,86\bigl(t^{2}+2th+h^{2}\bigr)=10t+10h-1,86t^{2}-3,72th-1,86h^{2}.
  • Agora o numerador do quociente de diferença:
H(t+h)-H(t)=\bigl(10t+10h-1,86t^{2}-3,72th-1,86h^{2}\bigr)-\bigl(10t-1,86t^{2}\bigr).
Cancelando termos iguais fica
H(t+h)-H(t)=10h-3,72th-1,86h^{2}=h\bigl(10-3,72t-1,86h\bigr).
  • Dividindo por h e fazendo h\to0:
\frac{H(t+h)-H(t)}{h}=10-3,72t-1,86h\quad\longrightarrow\quad 10-3,72t\\ \text{quando }h\to0.
  • Portanto a derivada (velocidade instantânea) é
v(t)=10-3,72t.
Comentário didático: aqui usei a regra de derivação do termo 10t (derivada 10) e do termo -1,86t^{2} (derivada -2\cdot1,86\,t=-3,72t). A derivada de um polinômio é direta e o processo acima mostra por que isso funciona (pela definição limite).

Passo 4

(a) Velocidade após 1 segundo — aplicar v(t) em t=1.
  • Substituindo t=1 na fórmula v(t)=10-3,72t:
v(1)=10-3,72\cdot 1=10-3,72=6,28.
  • Unidade: \text{m/s}. Interpretação: v(1)=6{,}28\\ \text{m/s} significa que um segundo após o lançamento a pedra sobe ainda (velocidade positiva) a 6{,}28\\ \text{m/s}.

Passo 5

(b) Velocidade quando t=a — simplesmente avaliar a expressão geral em t=a.
  • Substituindo t=a na fórmula:
v(a)=10-3,72a.
  • Unidade: \text{m/s}. Isso é uma expressão algébrica: se souber o valor de a basta substituir para obter o número.

Passo 6

(c) Quando a pedra atinge a superfície? — resolver H(t)=0.
  • A equação é
H(t)=10t-1,86t^{2}=0.
  • Fatorando t:
t\bigl(10-1,86t\bigr)=0.
  • As soluções são t=0 e 10-1,86t=0. A raiz t=0 corresponde ao instante do lançamento (altura zero no início). A outra raiz é
1,86t=10\quad\Rightarrow\quad t=\frac{10}{1,86}.
  • Calculando numericamente:
t=\frac{10}{1,86}\approx 5,376\\ \text{s}.
  • Portanto, além do lançamento em t=0, a pedra volta a atingir a superfície em t\approx 5{,}376\\ \text{s}. Para responder “quando a pedra atinge a superfície?” normalmente interessa o tempo positivo não nulo: t=\dfrac{10}{1,86}\approx 5{,}376\\ \text{s}.

Passo 7

(d) Com que velocidade a pedra atinge a superfície? — avaliar v(t) no instante de impacto t=\dfrac{10}{1,86}.
  • Use v(t)=10-3,72t e t=\dfrac{10}{1,86}:
v\!\left(\frac{10}{1,86}\right)=10-3,72\cdot\frac{10}{1,86}.
  • Calcule o produto:
3,72\cdot\frac{10}{1,86}=\frac{37,2}{1,86}.
  • Observe que 1,86\cdot 20=37,2, portanto \dfrac{37,2}{1,86}=20. Logo
v\!\left(\frac{10}{1,86}\right)=10-20=-10.
  • Unidade: \text{m/s}. Interpretação: a velocidade é -10{,}0\\ \text{m/s}; o sinal negativo indica que a pedra está se movendo para baixo no instante do impacto, e o módulo da velocidade (rapidez) é 10{,}0\\ \text{m/s}.

Passo 8

Resumo físico rápido e ânimo: vimos que a velocidade diminui linearmente com o tempo por causa da aceleração (gravidade em Marte, aqui codificada no coeficiente 1,86). No lançamento a t=0 a velocidade é 10\\ \text{m/s}; no impacto volta a ter rapidez 10\\ \text{m/s} mas na direção oposta (para baixo). Bom trabalho! Você já consegue aplicar esse procedimento a qualquer função polinomial de posição: derive, avalie nos tempos pedidos e resolva a equação H(t)=0 para achar impactos.

Resposta

(a) v(1)=6{,}28\\ \text{m/s}
(b) v(a)=10-3{,}72a\\ \text{m/s}
(c) t=0 e t=\dfrac{10}{1,86}\approx 5{,}376\\ \text{s} (tempo de impacto positivo: t=\dfrac{10}{1,86})
(d) v\!\left(\dfrac{10}{1,86}\right)=-10{,}0\\ \text{m/s}

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