Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com velocidade de
, sua altura (em metros) após
segundos é dada por
.
(a) Encontre a velocidade da pedra apos um segundo.
(b) Encontre a velocidade da pedra quando
.
(c) Quando a pedra atinge a superficie?
(d) Com que velocidade a pedra atinge a superficie?
(a) Encontre a velocidade da pedra apos um segundo.
(b) Encontre a velocidade da pedra quando
(c) Quando a pedra atinge a superficie?
(d) Com que velocidade a pedra atinge a superficie?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado (peguei todos estes valores do enunciado):
- A altura
em metros, em função do tempo em segundos, é
- A velocidade que nos pedem é a velocidade instantânea da pedra (em
) nos instantes solicitados.
- A altura
- O enunciado pede quatro coisas:
(a) a velocidade da pedra apóssegundo;
(b) a velocidade da pedra quando(ou seja, expressão em função de );
(c) quando a pedra atinge a superfície (ou seja, o(s) instante(s)em que );
(d) com que velocidade a pedra atinge a superfície (velocidade no instante de impacto).
Passo 2
Conceito importante e fórmulas que vamos usar (aula curtinha): velocidade instantânea como derivada da posição.
- Em física básica, a velocidade instantânea
é a taxa de variação da altura em relação ao tempo. Matematicamente isso é a derivada:
- Definição via quociente de diferença (primeiros princípios): para entender de onde vem a derivada, considere
Essa fórmula diz: pego o aumento médio de altura em um intervalo pequeno
e faço
tender a zero para obter a taxa instantânea.
Passo 3
Calcular a derivada
usando a definição (vou desenvolver passo a passo para ficar bem claro).
- Primeiro calcule
:
- Expandindo
, obtemos
- Agora o numerador do quociente de diferença:
Cancelando termos iguais fica
- Dividindo por
e fazendo :
- Portanto a derivada (velocidade instantânea) é
Comentário didático: aqui usei a regra de derivação do termo
(derivada
) e do termo
(derivada
). A derivada de um polinômio é direta e o processo acima mostra por que isso funciona (pela definição limite).
Passo 4
(a) Velocidade após
segundo — aplicar
em
.
- Substituindo
na fórmula :
- Unidade:
. Interpretação: significa que um segundo após o lançamento a pedra sobe ainda (velocidade positiva) a .
Passo 5
(b) Velocidade quando
— simplesmente avaliar a expressão geral em
.
- Substituindo
na fórmula:
- Unidade:
. Isso é uma expressão algébrica: se souber o valor de basta substituir para obter o número.
Passo 6
(c) Quando a pedra atinge a superfície? — resolver
.
- A equação é
- Fatorando
:
- As soluções são
e . A raiz corresponde ao instante do lançamento (altura zero no início). A outra raiz é
- Calculando numericamente:
- Portanto, além do lançamento em
, a pedra volta a atingir a superfície em . Para responder “quando a pedra atinge a superfície?” normalmente interessa o tempo positivo não nulo: .
Passo 7
(d) Com que velocidade a pedra atinge a superfície? — avaliar
no instante de impacto
.
- Use
e :
- Calcule o produto:
- Observe que
, portanto . Logo
- Unidade:
. Interpretação: a velocidade é ; o sinal negativo indica que a pedra está se movendo para baixo no instante do impacto, e o módulo da velocidade (rapidez) é .
Passo 8
Resumo físico rápido e ânimo: vimos que a velocidade diminui linearmente com o tempo por causa da aceleração (gravidade em Marte, aqui codificada no coeficiente
). No lançamento a
a velocidade é
; no impacto volta a ter rapidez
mas na direção oposta (para baixo). Bom trabalho! Você já consegue aplicar esse procedimento a qualquer função polinomial de posição: derive, avalie nos tempos pedidos e resolva a equação
para achar impactos.
Resposta
(a)
(b)
(c) e
(tempo de impacto positivo:
)
(d)
(b)
(c)
(d)